二进制补码与移位运算：计算机整数运算与硬件逻辑的底层原理

计算机是如何理解并处理数字和字符的？答案藏在最基础的二进制数之中。理解二进制，不仅是理解计算机的运作起点，也是深入计算机基础、编译原理乃至高性能编程的关键。

1 用二进制数表示计算机信息的原因

• 计算机内部是由IC（集成电路）这种电子部件构成的。
• IC有多种形状，一些像黑色蜈蚣，两侧排列着数个乃至数百个引脚。
• 所有IC引脚，只有直流电压0V或5V这两种状态。也就是说，一个引脚只能表示两个状态，这完美对应了二进制中的0和1。

为了高效处理信息，计算机通常以8的倍数（如8位、16位、32位）组织二进制数，这是因为计算机信息处理的基本单位是8位二进制数，被称为一个字节（Byte）。字节是最基本的信息计量单位（位是最小单位）。

规则一：高位补零
用字节单位处理数据时，如果数值的二进制位数小于存储空间的位数，高位就用0填补。

例如，100111这个6位二进制数，用8位（=1字节）表示时为00100111，用16位（=2字节）表示时为0000000000100111。

因此，无论你用十进制还是文字编写程序，经过编译后，所有信息都会转换成二进制数值。程序运行时，计算机内部处理的始终是二进制流。

2 什么是二进制数

二进制数与我们熟悉的十进制数遵循相似的权重原理，只是基数从10变成了2。每一位的值是“数字 × 2^(位置)”，从右向左（从低位到高位）位置从0开始递增。

让我们以00100111为例，将其转换成十进制数来理解其机制：

计算过程为：(0×2⁷)+(0×2⁶)+(1×2⁵)+(0×2⁴)+(0×2³)+(1×2²)+(1×2¹)+(1×2⁰) = 0+0+32+0+0+4+2+1 = 39。

3 移位运算和乘除运算的关系

移位运算指的是将二进制数值的各个数位进行左移或右移的操作。移位操作是底层硬件和许多算法高效实现的关键。例如，在C/C++中，移位运算符直接对应CPU的快速位操作指令。

一次运算可以移动多个数位。

将变量a的值左移两位的C语言程序

a = 39;
b = a << 2;

移位运算本质上是针对二进制位的操作。无论源代码中使用几进制，计算机内部都会转换成二进制数进行处理。

十进制数39用8位二进制表示是00100111，左移两位后变成10011100（溢出的高位丢弃，空出的低位补0），再转换回十进制就是156。

提示：十进制数左移一位相当于乘以10，左移两位乘以100。同理，二进制数左移n位，就相当于乘以2ⁿ；右移n位，则相当于除以2ⁿ（整数除法）。这使得乘除2的幂次方的运算在底层变得极其高效。

4 便于计算机处理的“补数”

4.1 二进制数如何表示负数

在二进制表示中，通常将最高位作为符号位：0表示正数，1表示负数。

那么，-1用8位二进制如何表示？很多人直觉是10000001（将+1的00000001符号位改为1），但这是错误的。正确答案是11111111。

为什么？因为计算机在设计上，希望用同一套加法电路来完成加法和减法运算。这就需要引入补数的概念来用加法实现减法。补数就是用正数来表示对应的负数。

获取补数的方法就是“取反加一”：

1. 取反：将原二进制数的每一位取反（0变1，1变0）。
2. 加一：在取反结果的基础上加1。

例如，求00000001（+1）的补数来表示-1：

4.2 计算机如何计算 1 + (-1)

我们都知道结果应该是0。如果用错误表示法（-1=10000001）计算：
00000001 + 10000001 = 10000010，结果显然不是0。

而用正确的补数表示（-1=11111111）计算：
00000001 + 11111111 = 1 00000000。最高位产生了进位溢出，计算机会直接忽略这个溢出的位，剩下的8位结果就是00000000，即0。

当然，其他运算，如3-5，也可以通过补数得到正确结果。需要注意的是，当运算结果为负数时，结果本身也是以补数的形式存储的。

例如 3-5：3 = 00000011，5的补数（即-5）为 11111011。
00000011 + 11111011 = 1 11111110。忽略溢出位，得到11111110，这正是-2的补数表示。

5 逻辑右移和算术右移的区别

右移操作后，高位需要填充，根据填充规则的不同分为两种：

• 逻辑右移：移位后，空出的高位一律补0。这通常用于处理无符号数或图形数据（如像素移位）。
  
• 算术右移：移位后，空出的高位用原符号位的值填充（符号位是0就补0，是1就补1）。这用于保持带符号整数的正负性，实现真正的除以2ⁿ。

简单说：逻辑右移高位补0；算术右移高位补符号位。

一个具体例子：将 -4（8位补码：11111100）右移两位。

• 逻辑右移：结果为 00111111，即十进制63，这显然不是-4的1/4。
• 算术右移：结果为 11111111，即补码表示的-1，这正是-4的1/4。
  

符号扩充

当需要将较短位数的整数（如8位）转换为较长位数（如16位、32位）时，需要进行符号扩充。规则很简单：只需用原数的符号位填充所有新增的高位即可。这保证了数值在转换前后保持不变，无论是正数还是补码表示的负数。

6 掌握逻辑运算的窍门

计算机运算主要分为算术运算（加减乘除）和逻辑运算。逻辑运算是直接对二进制位进行操作的运算，是逻辑门和条件判断的基础，主要包括以下四种：

• 逻辑非（NOT）：按位取反，0变1，1变0。
• 逻辑与（AND）：两个位都是1时，结果才为1。
• 逻辑或（OR）：两个位至少有一个是1时，结果为1。
• 逻辑异或（XOR）：两个位不相同时，结果为1（“相异为1”）。

这些运算在掩码操作、权限判断、加密和底层硬件控制中广泛应用。

理解从二进制表示、补码运算到位移与逻辑操作，是打开计算机系统黑盒的第一把钥匙。如果你对这类计算机基础原理的深度探讨感兴趣，欢迎在云栈社区与其他开发者交流切磋，共同探索技术的本质。