55年悬而未决的格雷厄姆猜想终获证明：从杂耍到组合数学

一位热爱杂耍的数学家，给学界留下了一道 55 年无人能解的题。

罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）生前曾同时担任美国数学学会主席和国际杂耍协会主席。这两个身份看似风马牛不相及，却在他身上交汇出一道深刻的问题。1971 年，格雷厄姆提出：任意给定一组非零整数，能否在重新排列之后，让所有部分和互不重复？

放到杂耍的语境里，假如每个球在空中的时间都不一样，你总能找到一种抛球顺序，让两个球不会在同一拍掉落下来吗？

此前，这个问题在有限世界里一直悬而未决。而就在最近，几位年轻数学家用四篇论文把它完整地解开了。

先来说说这个猜想究竟在问什么。把整数排在一根数轴上，然后把数轴绕到一个钟面上，数字到某个素数 $p$ 之后就开始循环。假如 $p$ 是 7，那么 0、7、14 以及所有 7 的倍数都等价，也就是说，你能够把两个正数相加得到零。格雷厄姆的问题是：从这个循环里挑出一组非零的数，能不能重新排列它们，让所有部分和都不一样？

如果所有数都是正数，答案显然成立——和只会越加越大，自然不可能重复。如果正负数都有，在普通整数世界里，答案也是已知且可行的。但格雷厄姆想知道：在钟表算术这种有限世界里面，答案是否依然成立？

他的直觉是可以。哪怕是如此严格的规则，通常也留有足够的灵活性来构造出特殊结构。就像数独或者拉丁方阵，规则繁琐却总能找到合法填法。这个问题天然地贴合了关于设计与对称结构的研究。

图 | 罗纳德·格雷厄姆（来源：资料图）

然而几十年过去，没有人能证明格雷厄姆的直觉是对的。转机来自几位当代年轻数学家，他们从不同方向合围，终于把问题攻了下来。其中一篇论文由德国波恩大学的丽莎·萨沃曼（Lisa Sauermann）和美国芝加哥大学的范辉俊（Hui June Zhu）在 2026 年 2 月发表，为这个问题正式画上了句号。

严格来说，这项成果不是一篇论文单独完成的。前后一共涉及四篇论文，出自几组不同的年轻数学家之手，各自处理了不同规模的集合，合在一起才完成了对格雷厄姆猜想的完整证明。

牛津大学的阿尔普·穆耶塞尔（Alp Müyesser）和他的前导师阿列克谢·波克罗夫斯基（Alexey Pokrovskiy），处理的是集合几乎包含 $p$ 之前所有数的情况。在这种极端情况下构造合法排序非常困难。不过从随机排列出发能够走完大部分路径——领域内常把这类问题称作“大海捞针”。

数学家们可能知道存在大量好的排列，但真正找出一个来极难。本次研究中，他们先把几个特别挑选的数放到一边，把剩下的随机打乱，再逐一扫描有没有问题。如果发现某一段区间加起来等于零，就插入一个备用数字来改变它。

牛津大学的另外两位数学家诺亚·克拉维茨（Noah Kravitz）和本杰明·贝德特（Benjamin Bedert）则处理了另一个极端：集合很小的情况。比如集合里只有 100 个数，而 $p$ 是 10 亿。他们早在 2024 年 9 月就发表了证明成果。同在牛津的穆耶塞尔看到论文后联系了他们，随后几个人联合起来，把穆耶塞尔原来的方法推广到了更多情况。克拉维茨最初觉得这种合作不太可能发生——尽管大家都在牛津，他们却来自组合数学里两个通常互不往来的子领域。

不过中间还留着一个缺口。当集合规模处于中等水平时——比如集合里的数大约是 $p$ 的一半——此前的方法全都失效。那段时间，这个问题看起来可能又要搁置很久。

波恩大学的萨沃曼和芝加哥大学的范辉俊是十年前在斯坦福大学认识的老朋友。2025 年 9 月，一场在德国举行的数学会议让他们有机会重新共用一块黑板。会议结束后，范辉俊跟着萨沃曼去了波恩，待了三天。他们在会上听到了两个关于格雷厄姆猜想的报告，了解到大家都试图填补中等规模的缺口却未能成功。这反而激起了他们的兴趣。

萨沃曼高中时在国际数学奥林匹克竞赛里见过一个密切相关的问题，而且她做对了。到高中毕业时，她已经四次拿下这项赛事的金牌。有一种推测是，当年出题的人可能正是格雷厄姆的妻子——美籍华人数学家金芳蓉。要知道，金芳蓉经常从格雷厄姆的谜题中寻找灵感。

三天访问结束时，萨沃曼和范辉俊已经形成了一个破解方案。方案的核心是一种叫“反集中”的方法。反集中指的是某个事件发生的概率特别低，但这类证明的细节往往极其复杂。克拉维茨后来对媒体坦言，他们当时知道反集中法可能奏效，只是没胆量去尝试。

后来，萨沃曼和范辉俊沿用前人思路，先把数字随机重排，再想办法修补那些加起来等于零的序列。他们发现有三类坏事件会导致修补失败：

1. 零和序列出现在排列末尾，此时没有别的数可以换进来；
2. 很多零和序列靠得太近，来不及逐一修补；
3. 修补完一个坏序列，后面又冒出一个新的零和序列。

他们用反集中法证明了这三类坏事件各自发生的概率足够低。接着又借助傅里叶分析证明：把随机的一组数相加时，没有任何一个和会以特别容易的方式出现。把这两个洞察合在一起，就能估算每个坏事件的发生概率。最终结果显示，出现坏事件的总概率低于 100%——仅凭这一点，就足以证明猜想了。

几个月后，他们发表了一篇长达 27 页的证明论文。他们不仅证明了令人满意的重排总是存在，还进一步证明：一个随机排列经过调整之后，至少有 90% 的情况下能够消除所有坏事件。

四篇论文合在一起，证明了格雷厄姆猜想对任意规模的集合都成立。但它们都假设 $p$ 非常大。虽然没人算出确切数值，但大致在 $10^{100}$ 这个量级。

对数学家来说，这算不上什么问题。重点是，你得在钟表算术这种有限的数字系统里工作。但如果你想用这个结果去编排一场真正的杂耍表演，那就不现实了。要对应这么大的 $p$，杂耍动作得长到离谱。

这次证明确认了一件事：即使在这些奇怪而有限的数字设定里，漂亮的结构也总是存在的。人们总能够找到某种灵活性，把集合里的数重新洗牌，从而避免重复出现同一个部分和。

格雷厄姆已于 2020 年去世，享年 84 岁。他生前没能等到答案，但他留下的问题在 2026 年被一群年轻数学家合力解开了。

参考资料：

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-harness-randomness-to-crack-a-55-year-old-conjecture-20260928/

注：封面/首图由 AI 辅助生成