[面试题] 算法题解析：置换与快速幂优化重复操作场景

关于团队领导风格的讨论时常能在技术社区中见到，核心往往围绕着如何平衡团队产出与成员成长。

这类讨论虽然偏向软技能，但其背后蕴含的“寻找模式与优化方法”的思维方式，与解决复杂技术问题一脉相承。接下来，我们通过一道经典的编程面试题，来探讨如何将看似复杂的重复操作进行抽象与高效求解。

面试题：重复换座位问题

问题描述：
有 n 个同学，座位编号从 1 到 n，初始时同学 i 坐在座位 i。老师重复执行 k 次“换座位”操作，规则如下：

• 第 1、2 号座位上的人互换。
• 第 3、4 号座位上的人互换。
• 第 5、6 号座位上的人互换。
• ……
• 如果 n 是奇数，则最后一个座位上的人不动。

给定 n 和巨大的操作次数 k（例如 (10^{12})），要求输出最终每个座位上坐的是哪位同学。

思路一：暴力模拟法

最直观的方法是模拟整个换座位过程。

1. 使用数组 pos 记录每个座位上当前是谁。
2. 每一轮操作，遍历所有奇数索引的座位（从1开始），将其与下一个偶数索引座位互换。
3. 重复 k 轮。

伪代码如下：

for step in range(k):
    for i in range(1, n, 2):
        swap(pos[i], pos[i+1])

复杂度分析：时间复杂度为 (O(n \times k))。当 n 和 k 都很大时（例如 (n=10^5, k=10^9)），此方法完全不可行，必定超时。

思路二：抽象为置换问题

关键在于发现，每一轮“换座位”操作，本质上是对座位编号进行了一次固定的重新排列（置换）。

我们可以定义一个长度为 n 的数组 P（使用 0-based 索引，即座位 0 对应原座位 1），其中 P[i] 表示：经过一次操作后，原本在座位 i 上的人，将会被移动到座位 P[i]。

根据规则，可以轻松构造出这个置换数组 P：

def build_perm(n):
    P = list(range(n))  # 初始化，P[i] = i
    for i in range(0, n, 2):
        if i + 1 < n:
            # 相邻两个位置互换
            P[i], P[i+1] = i+1, i
        else:
            # n为奇数时，最后一个人不动
            P[i] = i
    return P

于是，原问题转化为：将置换 P 连续应用 k 次，求最终映射关系。

• 应用1次： f(i) = P[i]
• 应用2次： f(i) = P[P[i]]
• 应用k次： f(i) = P^k[i]，即置换 P 的 k 次幂。

思路三：置换的快速幂

计算 (P^k) 不必真的重复 k 次。我们可以借鉴计算数字幂次的快速幂算法思想，将其应用到置换运算上。

我们需要定义置换的“乘法”（复合）：

def compose(A, B):
    """
    返回复合置换 C = B ○ A。
    即 C[i] = B[A[i]]，表示先应用置换A，再应用置换B的结果。
    """
    n = len(A)
    C = [0] * n
    for i in range(n):
        C[i] = B[A[i]]
    return C

基于此，实现置换的快速幂：

def perm_power(P, k):
    n = len(P)
    ans = list(range(n))  # 初始化为恒等置换 I，I[i] = i
    base = P[:]  # 当前需要乘的幂次，初始为 P^1
    while k > 0:
        if k & 1:          # 如果当前二进制位为1
            ans = compose(ans, base) # 将当前幂次乘入结果
        base = compose(base, base)   # 底数平方：P^{2m} = (P^m)^2
        k >>= 1            # 移向下一个二进制位
    return ans

函数 perm_power(P, k) 返回的数组 final_pos 满足：final_pos[i] 是初始在座位 i 的人，经过 k 轮操作后的最终座位号。

最终求解与复杂度分析

得到最终映射 final_pos 后，只需一步反转即可得到“每个座位上是谁”的答案：

def seat_after_k_rounds(n, k):
    # 构建一次操作的置换
    P = build_perm(n)
    # 计算 P^k
    final_pos = perm_power(P, k)
    # 根据映射反推座位安排
    seat = [0] * n
    for person in range(n):
        destination = final_pos[person]
        seat[destination] = person + 1  # 转回 1-based 编号
    return seat

使用这段 Python 代码，即可高效求解。时间复杂度为 (O(n \log k))，即使 k 极大也能快速得出结果。

总结

本题的解题路径清晰展示了算法优化的经典思路：

1. 识别模式：将具体操作抽象为数学对象（置换）。
2. 利用性质：发现操作的重复性对应于置换的幂运算。
3. 应用高效算法：将数值计算的快速幂思想迁移到置换运算上。

这种“置换+快速幂”的范式，适用于任何固定规则重复大量次数的场景，是解决此类问题的有力工具。