从纯数学和严格定义的角度来看，答案是：没有（或者说定义特征值没有意义）。
但是，如果你把它仅仅看作一个 3x3 的数字矩阵去硬算，当然能算出数来，但这通常是错误的数学操作。
下面我们从三个层面深度剖析，为什么 PK1 应力张量 P “不配”拥有特征值。
1. 空间不匹配（最根本的数学原因）
特征值的定义前提：
特征值问题 Av = λv 的核心要求是：输入向量 v 和输出向量 Av 必须在同一个空间里，这样你才能比较它们是否“共线”（平行）。
PK1 的尴尬处境：
PK1 应力张量 P 是一个两点张量 (Two-point tensor)。
- 它的输入端在参考构型（过去，Reference）。
- 它的输出端在当前构型（现在，Current）。
这就像你在进行汇率换算：输入的是“人民币”，输出的是“美元”。如果你问：“有没有一笔钱，它的人民币数值等于美元数值（λ倍）？”这在物理上是没有意义的，因为这两个向量属于不同的基底，无法直接叠加或比较方向。
因此，在严格的张量分析中，两点张量没有特征值。
2. 对称性缺失（矩阵角度的灾难）
即使你忽略物理意义，强行把 P 视为一个普通的 3x3 实数矩阵进行计算，也会遇到巨大的数学麻烦。
- Cauchy 应力 σ：是对称矩阵 (σ^T = σ)，根据线性代数谱定理，对称矩阵一定有实数特征值，且特征向量正交。所以它有完美的主应力。
- PK2 应力 S：也是对称矩阵，也有实数特征值。
- PK1 应力 P：通常是非对称矩阵 (P^T ≠ P)。
对于非对称矩阵：
- 它的特征值可能是复数（Complex numbers）。应力出现虚数在静力学中没有物理意义。
- 它的特征向量通常不正交。
所以，强行求 P 的矩阵特征值，得到的结果是一堆乱码，既不能代表主应力，也不能代表主方向。
3. 正确的数学工具：奇异值分解 (SVD)
虽然 P 没有特征值分解（Eigendecomposition），但它有奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。
你上一张图片中的公式：
P = Σ σ_i (n_i ⊗ N_i)
这其实就是 SVD 的形式，而不是特征值分解的形式！
- σ_i (系数)：这是奇异值 (Singular Values)。在力学上，它们被称为主名义应力 (Principal Nominal Stresses)。
- N_i：这是右奇异向量，代表参考构型（过去）的主轴方向。
- n_i：这是左奇异向量，代表当前构型（现在）的主轴方向。
总结：
P 把过去的 N_i 映射成了现在的 n_i，并拉伸了 σ_i 倍。因为它把一个基底变成了另一个基底（发生了旋转和变形），所以这叫 SVD，不叫特征值问题。
一句话结论
数学上，PK1 没有特征值，因为它连接了两个不同的空间且不对称；它只有奇异值（即主名义应力 σ_i），这对应着图片里推导出的那个系数。想深入探讨更多计算机科学与数学交叉领域的基础知识，欢迎来云栈社区交流学习。 | 
发表于 前天 07:08
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