要论聪明才智，极少有人能超过约翰·冯·诺伊曼。这位现代计算机的设计师和博弈论的创始人，因其快如闪电的心算和过人记忆力而成为传奇。
有个关于他的经典故事：有人向他提了一个问题。两个骑车人从一条长20英里的路两端相对出发，各自以每小时10英里的速度匀速行驶。开始时，一只停在其中一辆自行车前轮上的苍蝇，以每小时15英里的速度向另一辆自行车飞去。到达后立即掉头飞回，如此反复，直到两车相遇时苍蝇被挤在车轮之间。问这只苍蝇在被压扁前总共飞了多远？
这问题听起来很棘手。苍蝇来回飞行的距离由无限多段组成，每段都比前一段短，要把它们都加起来似乎是一项艰巨的任务。
解决的一个窍门是，别盯着苍蝇，转而考虑骑车人。20英里的路，两人以每小时10英里的速度相向而行，1小时后会在中点相遇。在这1小时内，无论苍蝇的路径多么曲折，它以15英里/时的速度飞行，必然飞了15英里。
据说，当冯·诺伊曼听完这个问题后，立刻就答道：“15英里。”提问者略显失望：“你也发现了这个窍门。”“什么窍门？我只不过是对无穷级数进行了求和。”冯·诺伊曼笑道。
无穷级数，即遵循某种规则的无穷多个数字、变量或函数之和。在微积分这出大戏里，导数和积分固然是主角，但无穷级数也占有至关重要的一席之地。
那么，我们为什么要研究它？无穷级数能帮助我们寻找难题的近似解，也能揭示数学严谨性中的微妙之处。只是课堂上的介绍往往缺少现实世界的生动案例，偶尔出现的例子，比如年金、抵押贷款或化疗方案设计，对学生来说也显得有些遥远。
在我看来，学习无穷级数最令人信服的理由在于，它是一种强大的连接工具，揭示了数学不同分支之间深刻的联系。只有触及微积分的这一部分，真正的数学世界大门才会敞开，展现出其内在的、相互关联的结构。
在深入探讨之前，让我们看另一个涉及无穷级数的问题。逐步解决它，既能阐明冯·诺伊曼是如何解决苍蝇问题的，也能为我们更广泛地思考级数奠定基础。
假设你想从一个街头小贩那里买一顶漂亮的帽子。他要价24美元。
“12美元怎么样？”你直接对半砍价。
他回答：“我们各退一步，18美元吧。”
取个折中价似乎不错，但如果你读过《无限讨价还价的艺术》这本谈判手册，就会接着提出下一个折中报价，这次是在12美元和18美元之间：“15美元，就这么定了。”“哦不，我的朋友，那我可亏了，16.5美元吧。”卖家说。这种情况会一直持续下去，直到你们的价格趋于一致。那么这个终极价格是多少？
答案隐藏在一个无穷序列的求和中。观察一下，连续的报价遵循一个清晰的模式。
P_1 = 24，商家第一次报价。P_2 = 12，你的第一次报价。P_3 = 18，取 P_1 和 P_2 的均值。P_4 = 15，取 P_2 和 P_3 的均值。
关键在于，等号左边的数字 P_4 是由右边不断延伸的数值序列构建起来的。序列中的每一项（± 6, ± 3, ± 1.5, …）都是前一项绝对值的一半，但符号相反。因此，在极限情况下，你和卖家同意的价格 P_final 就是：
P_final = 24 - 12 + 6 - 3 + 1.5 - 0.75 + ...
公式里的省略号意味着这个序列将永远持续下去。
与其在这个无限长的表达式上绞尽脑汁，我们可以用一个数学上常用的巧妙技巧来简化问题。它能让我们消去那些令人困惑的无限项，只留下简单的部分来得到答案。
具体操作是，把等式两边都乘以2：
2 * P_final = 48 - 24 + 12 - 6 + 3 - 1.5 + ...
这对解决问题有什么帮助？请注意，2 * P_final 中的无限项几乎与 P_final 本身完全相同，只有第一项 48 不同，其余数字的正负号都是相反的。因此，如果我们把 P_final 的数列加到 2 * P_final 的数列上，其他一切都会成对抵消。
所以：
P_final + 2 * P_final = 48
即：
3 * P_final = 48
因此：
P_final = 16
这就是你在无限轮讨价还价后最终为帽子支付的价格。
苍蝇飞行问题也遵循类似的数学模式。稍加思考就能推断出，苍蝇每一段的飞行距离都是前一段的 1/5。冯·诺伊曼一眼看出，对这种“几何数列”求和是小菜一碟。几何数列是我们一直在讨论的一种特殊数列，其中所有连续的项都有相同的比率（公比）。对于苍蝇问题，公比是 1/5；对于讨价还价问题，公比是 -1/2。
一般来说，任何几何数列 a, ar, ar^2, ar^3, … 的形式为：
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...
其中 r 是公比，a 是首项。如果公比 r 的绝对值在 0 和 1 之间（就像我们的两个问题一样），可以通过乘以 (1 - r) 并利用类似技巧来证明，该无穷级数的和为：
S = a / (1 - r)
具体到砍价问题，a 是 24 - 12 = 12 美元，r 是 -1/2。代入公式，立即得到 S = 12 / (1 - (-1/2)) = 12 / (3/2) = 8。注意，这是从初始差异 24-12=12 开始累加减的结果。最终价格应为初始卖方价减去这个和的一半（因为序列始于卖方价调整），即 24 - 8/2? 等等，让我们回到原始设定。实际上，我们定义的 P_final 序列是 24 -12 +6 -3 +...，其首项 a=24，公比 r = -1/2？不，更严谨地看，这是一个交错级数。但利用几何级数求和思想，我们可以将其视为两个几何级数的组合，或直接用我们之前的代数方法，得到了正确结果 16 美元。
对于苍蝇问题，关键在于计算其第一段飞行距离。它需要搞清楚，以 15 英里/时飞行的苍蝇，在哪里与以 10 英里/时迎面而来的自行车相遇。因为它们的速度比是 15:10，即 3:2，所以相遇时，苍蝇已经飞完了初始 20 英里间距的 3/(3+2) = 3/5，也就是 12 英里。
类似的推理表明，苍蝇每次掉头飞行，距离都会以 1/5 的比例缩短。冯·诺伊曼瞬间在脑中完成了这些步骤，利用几何级数求和公式 S = a / (1 - r)，其中 a = 12 英里，r = 1/5，得出苍蝇飞行的总距离为 12 / (1 - 1/5) = 12 / (4/5) = 15 英里。
现在，让我们站得更高一点，回到更一般的问题：这样的级数是如何连接数学不同部分的？考虑几何数列求和的一般公式（当 |r| < 1 时）：
1 + r + r^2 + r^3 + ... = 1 / (1 - r)
这次，不把 r 看作一个特定数字（如 1/5 或 -1/2），而是将它视为一个变量。这个公式说出了一些惊人的东西：它像是一种数学点金术，断言函数 1/(1 - r) 可以转化为数学上更容易处理的形式——即 r 的简单幂次之和。
奇妙的是，在科学和工程中无处不在的大量其他函数也是如此。微积分的先驱们发现，他们所熟悉的所有函数——正弦、余弦、对数、指数函数——都可以转化为“幂级数”。
而当他们进行这些转换时，得到了惊人的结论。例如，下面是余弦、正弦和指数函数的幂级数展开：
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
这里 ! 代表阶乘。例如，4! = 4×3×2×1 = 24。
特别值得注意的是，e^x 的幂级数看起来酷似 cos x 和 sin x 级数的混合体，只不过没有了正负号的交替。正是这种形式上的巧合，让莱昂哈德·欧拉发现了数学史上最令人惊叹和影响深远的公式之一：欧拉公式。
e^(ix) = cos x + i sin x
其中 i 是虚数单位，定义为 √(-1)。
欧拉公式揭示了数学中一个非凡的联系：它断言正弦和余弦（代表周期和波动）与指数函数（代表增长和衰减）本质上紧密相连——前提是我们在复分析的领域（暂且不管那具体意味着什么）内考虑问题。
欧拉公式可以直接通过上述无穷级数加以验证。如今，它已成为电气工程、量子力学以及所有涉及波动与周期的技术学科中不可或缺的基本概念。
由此，我们可以迈出最后一步，审视常被誉为“数学中最优美方程”的欧拉恒等式。它实际上是欧拉公式在 x = π 时的特例。
e^(iπ) + 1 = 0
欧拉恒等式将数学中最著名的几个常数联系在了一起，每一个都象征着数学的一个庞大分支。这个方程仿佛是一束汇聚的数学之光，是数学统一性的明证。
- 0 代表虚无，但它并非“没有”。零是使我们整个数字书写系统成为可能的基础。
- 1 是数的单位，人类计数和算术的基石。
- π 是圆周率，圆与完美的象征，同时也是一个神秘无穷、永不重复的非循环小数。
- i 是虚数单位，代数学中创造力的飞跃，它让数字突破了仅为“大小”的桎梏。
- e 是自然对数的底，微积分的标志，象征着连续的运动与变化。
有人曾说，数学就像一座金字塔，概念层层堆叠。但在我理解无穷级数之后，便无法再将数学视为一座孤塔，甚至也不是一棵枝杈分明的树。在我看来，数学是一张巨大的、相互连接的网，它的所有部分都彼此支撑、交织在一起。没有哪个部分能完全从其他部分剥离，这种错综复杂而又和谐统一的联系，本身就像是一个精妙绝伦的智慧系统。对这类基础而优美的逻辑体系感兴趣的朋友，欢迎在云栈社区一起交流探讨。
英文原文: quantamagazine.org/how-infinite-series-reveal-the-unity-of-mathematics-20220124
发表于 16 小时前
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