把“一大堆”当整体：从完全平方到泰勒展开

小时候我父亲辅导我数学的时候，讲到“完全平方公式”，他说：“有时你需要把这‘一大堆’当成一个东西来处理（大意）”。这句话需要结合具体题目来理解：他所指的“这一大堆”就是用括号括起来的一个复杂的表达式，要在后面的运算过程中看成一个整体，也就是看成完全平方公式里的a或者b。

这句话真是金玉良言。以后我在数学的学习过程中，时刻记住这句话，获益匪浅。

有人说，这不过是很普通的一句话，值得这么夸赞吗？不妨举几个例子。比如，让你展开下面的式子，怎么办？

$(a+b+c)^2$

方法很简单，你只要把其中任意两个字母合在一起，看成一个整体就可以了，比如这样：

$( (a+b) + c )^2$

后面应该怎么做，读者应该都明白。这样，我们自己推导出来了三个变量的完全平方公式。

如果其中有字母带负号，也不用怕：

$(a-b+c)^2$ 同样处理。

我们再举一个利用平方差公式因式分解的例子，看是不是上面那句话的简单应用：

$(x^2+y^2)^2 - (2xy)^2$

以上最关键的是第一步，你必须把第一个完全平方当成一个整体，才能想到使用平方差公式。这当然也算不上什么难题，但我要强调的是，你必须每时每刻都记着“你需要把这‘一大堆’当成一个东西来处理”。

在学到基本不等式的时候，我们又遇到类似问题：已知 $xy=A$，求 $x+\frac{y}{2}$ 的最小值（$x,y>0$）。我们知道，$(x+\frac{y}{2})^2 \ge 2x\cdot\frac{y}{2} = xy = A$，这其实也是把 $\frac{y}{2}$ 当做了一个整体。

其实，前面说的这种“看成一个整体”的思想，在高等数学里也是经常遇到。前不久，我在某个群里看到有人问这样一个式子是怎么来的：

$\frac{1}{1-x+x^2}$

这里说明一下，我大学毕业二十多年了，并不从事所谓学术工作，所以我看了第一眼之后含糊地回答——可能是泰勒展式吧（这当然就是泰勒展式，只不过我有点生疏了）。但是对方表示不会展开...

我接下来说，你可以把那个二次的式子看做是一个整体。于是对方恍然大悟（当然，在 $x$ 很小的情况下，你也可以说下面的式子是微分式）：

$\frac{1}{1-x+x^2} \approx 1 + x - x^2 + \cdots$

大家看，对方是不是就差那么“一点点”呢？这所差的一点点，是不是前面说的“你需要把这‘一大堆’当成一个东西来处理”？

我们从这里也可以看出，所谓“高等数学”，和“初等数学”的界限并不是那么明显：初等数学学扎实了，高等数学也可以减少一些困难。而这其中就包括一些解题技巧：不是那种适用性非常窄的技巧，而是一些通用的、基本的解题技巧。即以本题来说，你有没有把这句话“刻入骨髓”？如果没有做到这一点的话，对不起，大学数学老师可能不会给你补这个课：他们会给你讲这一道题，但要透彻理解数学技巧，把它变成你自己随时能用的东西，还得靠你自己。

其实很多时候，数学并不是很难，就看你对数学的理解是否透彻和掌握是否熟练了。