经典物理也能描述量子世界？从最小作用量到双缝实验

抛向空中的球，根据经典力学方程，我们能准确知晓它的轨迹、何时落地、落于何处。但如果把这颗球压缩到原子尺度甚至更小，它的行为就会脱离经典物理的预测范围。
至少，我们一直都是这么认为的。

现在，一项发表在《英国皇家学会会刊》上的研究指出，日常经典物理中的一些数学思想，也能用来描绘量子与亚原子尺度上那些奇异、反直觉的现象。研究团队证明，量子物体的运动同样可以通过经典物理中“最小作用量”的概念进行计算。

从最小作用量到双缝实验

一开始，研究人员只是在开发模型，用来处理机器人控制、飞行器控制、神经科学和机器学习中的复杂行为。预测这类系统时，工程师常借助哈密顿-雅可比方程——经典力学的重要表述之一，与牛顿运动定律关系密切。

哈密顿-雅可比方程本质上把物体的运动描述为：物体会沿着使“作用量”达到最小的路径前进。举个简单的例子：一个球从 A 点抛向 B 点，理论上它可以在两点间走出无数条弯弯绕绕的轨迹，但方程告诉我们，球实际走过的是那条满足最小作用量条件的路径。

这里的“作用量”，可以理解成把物体运动过程中每一刻的“动能与势能之差”不断累加起来的总和。因此，从 A 到 B 虽然路径无数，但真正被球走完的那条，就是让“动能与势能之差”在整个过程里总体最小的那一条。

研究人员把哈密顿-雅可比方程和最小作用量原理应用到一系列带约束的经典力学问题，过程中他们意识到，只要做一些数学扩展，这个方程同样可以求解量子力学中赫赫有名的双缝实验。

双缝实验揭示了量子尺度上那种奇特的、非经典的行为。实验设置很简单：在一块金属挡板上开两条狭缝，把单个光子射向挡板。按经典预测，光子应该只选一条路径穿过其中一条狭缝，在挡板另一侧留下一个光点。

然而实际情况根本不是光点，而是明暗相间的干涉条纹。这种近乎“扭曲现实”的图样源于一个量子现象——一个光子可以同时走过不止一条路径。在双缝实验中，单个光子会同时穿过两条狭缝，沿两条路径传播并彼此干涉。最终的条纹图案意味着这两条路径必然带有波的特征，从而证明量子粒子也可以像波一样行事。

自量子力学诞生以来，物理学家一直试图用经典物理的工具来解释双缝实验，但此前最多只能得到近似结果。即便是著名物理学家费曼（Richard Feynman），也认为这项任务无法完成。因为要解释这一现象，就必须把光子理论上所有可能路径（包括无数条曲折的路线）都纳入考虑，而这些路径与经典物理中人们预期的光滑轨迹相矛盾。

研究人员却发现，恰恰是这一点可以被调整。经典物理假定物体从 A 到 B 只能走一条路，而量子力学允许物体同时走多条路、同时处在多种状态中——这种基本量子性质叫作叠加。

于是他们提出：不妨让经典物理在数学上也接受“多路径”的概念。这样一来，描述量子现象时，不需要计算无限多条可能路径，只需计算少数几条满足最小作用量条件的经典路径，就能复现量子力学的结果。

用“密度”重写量子路径

在这项新研究中，团队又引入经典物理的另一个要素——密度。从本质上说，它表示某一条路径被采用的概率。研究人员打了个比方：“我们从流体动力学的角度理解密度。想象你用水管向墙喷水：大部分水流会打到中心，但也会有些水花溅向两侧。中心位置水流密度更高，就意味着在那条路径上找到水滴的概率更大。这里会形成一个可以计算的分布。”

他们调整了哈密顿-雅可比方程，把密度项和多条最小作用量路径纳入进去，并应用到双缝实验。结果发现，在这种表述下，只需考虑分别穿过两条狭缝的两条经典路径就够了，根本不用像费曼的方法那样处理无数条曲折路线。

最终，通过计算经典密度和作用量，他们得到了一个波函数，也就是光子最可能路径的分布。这一结果与薛定谔方程的预测完全一致，而薛定谔方程正是描述量子力学行为的核心方程。

这揭示了一个纯粹的数学事实：只要以恰当方式计算密度，量子力学中的薛定谔方程和经典物理中的哈密顿-雅可比方程实际上是等价的。这并不意味着量子现象会发生在经典尺度上，而是说，我们可以用非常简单的经典工具来计算量子行为。

一座更坚固的数学桥梁

除了双缝实验，研究人员还证明，这个改写后的方程也能预测其他量子行为，比如量子隧穿——电子之类粒子可以穿过能垒，经典物理认为这绝无可能。他们甚至从行星的经典轨道出发，推导出了氢原子中电子的精确量子波。最后，他们还从这一视角重新审视了著名的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（EPR）实验，这个实验开启了现代量子纠缠研究。

这些神秘现象过去只能靠量子力学方程理解，如今也可以用这种新的经典表述来描述。从本质上说，这项研究在我们熟悉的日常经典物理世界与亚原子尺度的世界之间，架起了一座精确的数学桥梁。

研究人员表示，过去经典物理和量子物理之间只有一座非常脆弱的桥梁，而且只对相对较大的量子粒子才勉强能用。现在，我们有了一座坚固的桥——一种可以共同描述量子力学、经典力学和相对论的方法，适用于所有尺度。物理学家或许可以把这一新公式当作简便工具，用来预测某些量子系统和器件的表现，这对量子计算可能意义深远，因为量子比特具有非线性能量，过去必须做近似处理；它也可能帮助我们更好地理解那些同时涉及量子物理与广义相对论的问题。

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参考来源：
https://news.mit.edu/2026/new-study-bridges-classical-and-quantum-physics-0421
https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical
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