概率直觉有多不靠谱？三道经典概率题与 Python 模拟验证

读到一篇名为《和上帝一起掷骰子》的文章，里面提到不少反直觉的概率问题，好些算出来的结果和第一印象大相径庭。今天挑几个有意思的例子，一起看看直觉和数学的概率到底差多远。

先看第一个：
假如 1000 人中有 1 人携带 X 病毒，有一种检测能 100% 检出感染者，但对未感染的人有 5% 的误报率。现在随机找一个人，检测结果阳性——也就是说报告他为携带者。那么，这个人真的携带病毒的可能性有多大？

这里我们暂时忽略各种外在条件。看起来 5% 的误检率已经很低了，可事实上，此人真正感染的概率只有 1.96%。

计算很简单：

哪怕让他连续检测两次都呈阳性，实际患病的概率也不过：

所以在现实中，初筛阳性后通常必须复检，目的就是尽可能排除假阳性。

再看另一个例子：
雨夜，一辆出租车肇事。一位目击者说「车是蓝色的」。已知在当时的环境下，这位证人正确区分蓝色和绿色的准确率是 80%；而当地 85% 的出租车是绿色，15% 是蓝色。看上去眼见为实，八成总不该错吧？可那辆车真的是蓝色的概率，算下来只有 41.38%。

最后这个，是我觉得最有意思的一个问题：

有一个人，有两个孩子。已知其中一个孩子是男孩，且这个男孩的生日是星期二。问另一个孩子也是男孩的概率是多少？

直觉上我们很容易想：生男生女不都是 1/2 吗？跟星期几有什么关系？可答案是 13/27。

你可能会觉得离谱。为了验证，我写了一段 Python 程序来模拟这个场景：

one_tuesday_boy = 0
one_tuesday_boy_plus_another_boy = 0
for gender1 in ['m', 'f']:
  for birth1 in range(1, 8):
    for gender2 in ['m', 'f']:
      for birth2 in range(1, 8):
        if (gender1 == 'm' and birth1 == 2) or (gender2 == 'm' and birth2 == 2):
          one_tuesday_boy += 1
          if gender1 == 'm' and gender2 == 'm':
            one_tuesday_boy_plus_another_boy += 1
print one_tuesday_boy_plus_another_boy, '/', one_tuesday_boy

假设生男生女和一周七天出生的概率均等，那么总共就有 2×7×2×7 = 196 种等可能的情况。通过程序枚举，满足「有一个周二出生的男孩」的情况是 27 种，其中两个都是男孩的有 13 种。答案是直接暴力跑出来的。

概率问题就是这样，稍不注意就会被直觉带偏。在云栈社区，你也可以找到更多关于 Python 和算法的硬核讨论，欢迎随时来转转。