PostgreSQL递归CTE与位运算实战：用一条SQL高效求解数独难题

数独求解是一个经典的约束满足问题。在数据库领域，利用SQL强大的声明式查询能力来解决此类问题，不仅是对DBA逻辑思维的挑战，也是对SQL语言深度应用的一次绝佳实践。本文将带你深入探索如何使用PostgreSQL，从基础递归到结合位运算的极致优化，仅用一条SQL语句优雅且高效地解开数独。

高效数独算法概览

解决数独问题有多种计算机算法，其效率差异显著：

1. 回溯法

最基础的解法，采用深度优先搜索进行试错。

• 优点：实现简单，保证有解必能找到。
• 缺点：盲目搜索，效率较低。
• 优化：结合“最少剩余候选数优先”策略可大幅剪枝。

2. 舞蹈链算法

由高德纳提出，将数独转化为精确覆盖问题，是已知最快的通用算法之一。

• 原理：构造稀疏矩阵，利用双向十字链表高效操作。
• 适用：追求毫秒级响应的专业级求解器。

3. 约束传播

模拟人类逻辑推理，通过“消除”和“唯一余数”两个规则推进。

• 优势：逻辑性强，对于多数普通数独，仅凭此方法即可完成大部分填充。

4. 启发式搜索

针对超大规模或特殊变体数独，可采用遗传算法、模拟退火等元启发式方法。

基于PostgreSQL的SQL解法实战

在PostgreSQL中，递归公用表表达式是实现回溯搜索的天然工具。下面我们从基础到高级，逐步构建高效的SQL求解方案。

1. 基础数据准备

首先创建存储数独题目的表，题目用81位字符串表示，.代表空格。

CREATE TABLE sudoku_puzzles (
    id SERIAL PRIMARY KEY,
    board TEXT NOT NULL
);

插入一道经典题目用于测试：

INSERT INTO sudoku_puzzles (board) VALUES
('53..7....6..195....98....6.8...6...34..8.3..17...2...6.6....28....419..5....8..79');

2. 基础递归CTE解法

这是一个直观但效率一般的解法，按顺序尝试填充每个空格。

WITH RECURSIVE solve(board, pos) AS (
    -- 基础部分：定位第一个待填格
    SELECT
        board,
        position('.' IN board) as pos
    FROM sudoku_puzzles
    WHERE id = 1
    UNION ALL
    -- 递归部分：尝试填入数字1-9
    SELECT
        substring(board, 1, pos - 1) || val || substring(board, pos + 1),
        position('.' IN substring(board, 1, pos - 1) || val || substring(board, pos + 1))
    FROM solve,
     (SELECT chr(ascii('1') + i) AS val FROM generate_series(0, 8) i) AS nums
    WHERE pos > 0
      -- 冲突检查：行、列、宫
      AND NOT EXISTS (
          SELECT 1 FROM generate_series(1, 9) i
          WHERE
            substring(board, ((pos-1)/9)*9 + i, 1) = val
            OR
            substring(board, ((pos-1)%9) + (i-1)*9 + 1, 1) = val
            OR
            substring(board,
                (((pos-1)/27)*27 + (((pos-1)%9)/3)*3) + ((i-1)/3)*9 + ((i-1)%3) + 1, 1) = val
      )
)
SELECT board AS solution FROM solve WHERE pos = 0;

3. 引入位运算进行极致优化

基础解法中频繁的字符串substring操作和坐标计算是性能瓶颈。使用位运算（Bitmask）可以将其转化为高效的二进制操作。核心思想是用三个整数数组分别记录每行、每列、每宫的数字占用状态。

以下为融合了位运算与最少候选数优先策略的终极优化版本：

WITH RECURSIVE
initial AS (
    SELECT
        board,
        -- 初始化行、列、宫的位掩码
        (SELECT array_agg(COALESCE(SUM(1 << (val - 1)), 0)::int) ... ) as rows,
        (SELECT array_agg(COALESCE(SUM(1 << (val - 1)), 0)::int) ... ) as cols,
        (SELECT array_agg(COALESCE(SUM(1 << (val - 1)), 0)::int) ... ) as boxes
    FROM sudoku_puzzles WHERE id = 1
),
solve AS (
    SELECT board, rows, cols, boxes, false as solved FROM initial
    UNION ALL
    (
        WITH current_level AS ( SELECT * FROM solve WHERE NOT solved LIMIT 1000 ),
        all_candidates AS (
            SELECT
                cl.board, cl.rows, cl.cols, cl.boxes,
                p.pos,
                -- 核心：通过位运算计算当前空格所有可填数字的掩码
                ( ( (cl.rows[(p.pos-1)/9 + 1]::int | cl.cols[(p.pos-1)%9 + 1]::int | cl.boxes[((p.pos-1)/27*3 + (p.pos-1)%9/3) + 1]::int) # 511 ) & 511 )::int as available_mask
            FROM current_level cl
            CROSS JOIN generate_series(1, 81) p(pos)
            WHERE substring(cl.board, p.pos, 1) = '.'
        ),
        -- MRV策略：选择候选数最少的空格
        best_pos AS (
            SELECT DISTINCT ON (board) *,
                   length(replace((available_mask::bit(9))::text, '0', '')) as c_count
            FROM all_candidates
            ORDER BY board, c_count ASC
        ),
        next_step AS ( ... ) -- 执行填充并更新掩码
        SELECT next_board, next_rows, next_cols, next_boxes, position('.' IN next_board) = 0
        FROM next_step
    )
)
SELECT board FROM solve WHERE solved;

优化核心解析：

1. 状态压缩：行、列、宫的占用状态用9个整数的位掩码表示，检查冲突只需(mask & (1 << n)) == 0，效率远超字符串操作。
2. MRV启发式搜索：每一层递归都通过available_mask计算所有空格的候选数，并优先填充候选数最少（c_count最小）的格子，极大减少了搜索树的分支。
3. 位运算求候选集：表达式 (rows | cols | boxes) # 511 能瞬间得到当前空格可填数字的位图，是算法效率飞跃的关键。

4. 性能测试与结果格式化

使用号称“世界最难”的AI Escargot数独进行测试：

INSERT INTO sudoku_puzzles (board) VALUES
('1.......2.9.4...5...6...7...5.9.3.......7.......85..4.7.....6...3...9.8.2.......1');
-- 运行上述优化版SQL查询

在典型配置下，优化版SQL可在几百毫秒内解出此类“骨灰级”数独。为便于阅读，可使用以下SQL将81位结果字符串格式化为9x9矩阵：

SELECT regexp_replace(
    solution_string,
    '(.{9})',
    '\1' || chr(10),
    'g'
) AS matrix_view FROM ...;

总结

通过本次从基础递归到“位运算+MRV”终极方案的演进，我们展示了SQL在解决复杂逻辑问题上的强大潜力。这种方法不仅限于数独，其背后的递归搜索、状态压缩与启发式剪枝思想，可以广泛应用于调度、排班等各类约束满足问题的求解。对于DBA和开发者而言，深入理解并灵活运用这些高级SQL特性，能极大提升解决实际数据难题的能力。