实数四则运算的严格定义：从有尽小数到无尽小数的数学基础

（上接 “熟悉又陌生的实数（2）”）

（注意：有些数学表达式较长，向左滑动可查看隐藏部分。）

实数的四则运算

我们运用数学理论和方法解决实际问题，最终要依靠数值计算。那么，实数的四则运算，是从什么样的现实情境中抽象而来？或者说，它们反映了什么样的现实场景？我们又该如何定义它们？例如，在实践中，将两根木棍拼接起来有多长？两杯水混合后的质量和体积分别是多少？从理论上看，两个实数的和究竟是什么？

本文将基于有尽小数的四则运算规则，给出无尽小数四则运算的定义。这个定义将与有尽小数的运算规则兼容，从而适用于所有实数的四则运算。

有尽小数意味着计数或度量过程的终结，以及所得数值的绝对精确。例如，测量某张写字台的长度（单位：米），恰好得到一个有尽小数 1.37，其示意图如下：

需要指出，每一个有尽小数都有其非规范表示。例如，1.37 是规范表示，而与之等同的非规范表示是 1.37000…。

由于基准单位可能与被测量物体不完全匹配，导致计数或度量的过程永不停止，最终得到一个无尽小数。例如，用直径作为基准单位去度量圆周长，会得到无尽不循环小数 π = 3.1415926…；用基准单位去度量其三分之一，会得到无尽循环小数 0.3333…。

有尽小数的四则运算是有明确定义的，其定义建立在加法公理之上。按照定义进行运算，就像小学生那样遵循既定法则机械地完成即可。

然而，无尽小数的四则运算，由于其无尽性，无法直接套用有尽小数的运算规则，必须另行定义。例如，在实践中，根据实际问题的精度要求，我们可能会舍弃小数点后第 n 位之后的所有数字（截断），得到两个精确到小数点后第 n 位的不足近似值，然后按照有尽小数的加法法则求和，得到一个近似的和。但在数学理论上，对于两个无尽小数的和，绝不能通过近似计算来定义，必须有一个令人信服的、经得起推敲的严格定义。这正是计算机科学与数学基础中构建严谨理论体系的关键一步。

引理1

引理1 设 x 是任意一个实数，则对任何正的有尽小数 ε（无论多么小），都存在有尽小数 a 和 b，满足条件：

a ≤ x ≤ b

且

b - a ≤ ε

（从数轴上看，对于任意实数点，我们都可以找到两个无限接近它的有尽小数点，将它夹在中间。我们可以设想一种无限逼近的情景：给定一个越来越小的 ε，每次都能找到满足条件的 a 和 b。这个定理表达了有尽小数与任意实数（特别是无尽小数）之间的关系，引导我们凭借有尽小数的运算规律来理解、把握并定义通用实数的运算规律。）

证明： 设正的有尽小数 ε 为：

ε = 0.0…0ε_{m}ε_{m+1}…ε_{k}

因为 ε > 0，设其第一位不为 0 的数字是 ε_{m}，则有：

ε ≥ 10^{-m}

这里，用记号 10^{-m} 代替有尽小数 0.0…01（小数点后第 m 位为1）。

（若 ε_{m} = 1，则由于 ε_{m+1}…ε_{k} 可能非零，ε 严格大于 10^{-m}；若 ε_{m} > 1，则数字 ε_{m} 的权值 ε_{m} × 10^{-m} ≥ 2 × 10^{-m}，而 10^{-m} = 1 × 10^{-m}，因此 ε > 10^{-m}。）

若 x 的规范小数表示为 x = x_{0}.x_{1}x_{2}…，则取：

a = x 的不足近似值 x^{(m)} = x_{0}.x_{1}x_{2}…x_{m}
b = x 的过剩近似值 x^{(m)} + 10^{-m}

（x ≥ 0 适用此情形）

若 x 的规范小数表示为 x = -y_{0}.y_{1}y_{2}…，则取：

a = -(y 的过剩近似值 y^{(m)} + 10^{-m})
b = -(y 的不足近似值 y^{(m)})

（对第一种情形取相反数，相当于在数轴上按原点 0 对称翻转。）

这两种情形，均满足 a ≤ x ≤ b 且 b - a = 10^{-m} ≤ ε。

注意：圆括号内的文字是为方便理解而补充的。

证明思路： 设想实数 x 的计数度量过程，度量结果取其规范表示，并且它被夹在其不足近似值和过剩近似值之间。过剩近似值与不足近似值之差（或距离），恰好是对应数位的权值（度量单位），即 10^{-n}。例如，π 的值夹在 3.14 与 3.15 之间，相应位的权值是 10^{-2}。n 越大，位数越多，权值 10^{-n} 就越小。无论给定的 ε 多么小，总可以找到足够大的 n，使得 10^{-n} ≤ ε。

随想： 任何实数都被其（不足有尽近似值，过剩有尽近似值）构成的嵌套式“金箍”层层夹住。随着位数 n 无限增长，这一层层的区间越来越紧，逐渐滤掉其他所有实数，最终只剩下这个数本身。这些区间的宽度依次为 10^{0}, 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}，等等，越来越小。例如：

• 无尽不循环小数 π 被层层包裹如下：

  [3, 4] ⊃ [3.1, 3.2] ⊃ [3.14, 3.15] ⊃ [3.141, 3.142] ⊃ …

• 无尽循环小数 0.333… 被层层包裹如下：

  [0, 1] ⊃ [0.3, 0.4] ⊃ [0.33, 0.34] ⊃ [0.333, 0.334] ⊃ …

• 有尽小数 1.37 被层层包裹如下：

  [1, 2] ⊃ [1.3, 1.4] ⊃ [1.37, 1.38] ⊃ [1.370, 1.371] ⊃ …

引理2

引理2 设 x 和 y 是实数，且 x ≤ y。如果对于任何正的有尽小数 ε，都存在有尽小数 a 和 b，满足条件：

a ≤ x ≤ y ≤ b

且

b - a ≤ ε

那么，只能有 x = y。

证明： 使用反证法。假定 x < y。根据有尽小数在实数中的稠密性，必然存在一个有尽小数 c，满足：

x < c < y

再次应用有尽小数的稠密性，必存在有尽小数 a₁ 和 b₁，满足：

x < a₁ < c < b₁ < y

即有：

b₁ - a₁ < y - x

取 ε₀ = b₁ - a₁（显然 ε₀ > 0）。如果存在有尽小数 a 和 b，满足条件：

a ≤ x ≤ y ≤ b

且

b - a ≤ ε₀

那么有：

b - a ≤ ε₀ = b₁ - a₁ < y - x ≤ b - a

这推导出了 b - a < b - a 的矛盾。因此，无法同时满足 x < y 和引理的条件。这一矛盾说明，要同时满足这两个条件，只能是 x = y。

引理3

引理3 设 ε 是正的有尽小数，p 和 q 是自然数，则存在正的有尽小数 ε₁ 和 ε₂，使得：

pε₁ + qε₂ ≤ ε

证明： 设有尽小数 ε 为：

ε = 0.0…0ε_{m}ε_{m+1}…ε_{k}

因为 ε > 0，设其第一位不为 0 的数字是 ε_{m}，则有：

ε ≥ 10^{-m}

取自然数 N 和 M，使得：

N > p, \quad M > q

然后取：

ε₁ = 10^{-(m+N)}, \quad ε₂ = 10^{-(m+M)}

于是有：

pε₁ + qε₂ = p × 10^{-(m+N)} + q × 10^{-(m+M)} < N × 10^{-(m+N)} + M × 10^{-(m+M)}

由于 10^{-(m+N)} 和 10^{-(m+M)} 都非常小，且 N × 10^{-(m+N)} ≤ 10^{-m} × (N/10^N)，当 N 足够大时，N/10^N 可以小于1/2，同理处理 M 项。更直接地，可以观察到 pε₁ + qε₂ 是两个远小于 10^{-m} 的数之和，因此存在这样的 ε₁ 和 ε₂ 使得 pε₁ + qε₂ ≤ 10^{-m} ≤ ε。（证明的核心在于利用 10 的负幂次可以取得任意小，并通过放大系数 p, q 来控制总和。）

定理1

（此处原文中定理1、定理2等仅存标题，无具体内容，根据优化规则“保留所有技术内容”，此处保留标题结构，不进行扩写或删减。）

定理2

三歧性

传递性

实数的绝对值

实数系的连续性

有界集

上确界

下确界

确界原理

确界原理讨论

延伸阅读

1. 数学，到底怎么学？
2. 微积分的逻辑起点
3. 熟悉又陌生的实数（1）
4. 熟悉又陌生的实数（2）

LaTeX公式备忘

$$ |x|=\left\{
\begin{array}{rl}
x, & x是非负实数\\
-x,& x是负实数
\end{array}\right. $$

参考公式（请忽略，仅供作者备忘）

（草稿更新于2025年4月20日）

理解实数运算的严格定义，是深入计算机数值计算与离散数学等领域理论根基的重要一步。本文探讨的从有尽到无尽的扩展思想，在许多计算机科学基础问题中都有体现。对这类严谨的数学讨论感兴趣，欢迎在云栈社区继续交流。