物理信息神经网络R²-PINN：求解中子扩散方程的高效方法

在核反应堆分析与设计中，精确求解中子扩散方程是确保反应堆安全与高效运行的核心。传统数值方法如有限差分、有限元等在处理复杂几何或多物理场耦合问题时，常面临计算网格庞大、耗时长的挑战。

近年来，一种融合了物理定律与数据驱动的深度学习方法——物理信息神经网络（PINN）——为求解此类偏微分方程提供了新思路。它通过将控制方程、初始条件和边界条件作为约束项直接嵌入神经网络的损失函数中，引导网络学习符合物理规律的解。

然而，传统PINN通常采用全连接网络（FCN）架构，在应对中子扩散等复杂问题时，容易出现梯度消失、训练不稳定以及在解变化剧烈区域预测精度不足的瓶颈。

核心改进一：S-CNN 网络架构

为解决上述问题，研究提出了一种改进的PINN架构——基于残差重采样的物理信息神经网络（R²-PINN）。其首要改进是用带跳跃连接的卷积神经网络（S-CNN）替代传统的FCN。

这里的“卷积”操作并非用于图像特征提取，而是作为一种更高效的参数组织方式来处理输入的空间或时空坐标。其关键创新在于引入了跳跃连接，它如同在网络中开辟了信息传递的“高速公路”，有效缓解了深层网络中的梯度消失问题，确保了训练过程的稳定性和收敛性。

研究还进行了逐层梯度范数分析，以识别网络中易于出现梯度衰减的层，从而有针对性地设计跳跃连接，而非盲目堆叠网络深度。

（图：神经网络各层权重梯度与偏置梯度的范数分布）

（图：R²-PINN方法的整体工作流程，包含S-CNN、自动微分与残差自适应重采样等模块）

核心改进二：残差自适应重采样（RAR）

第二个关键创新是引入了残差自适应重采样机制。传统PINN通常在计算域内均匀采集训练点（又称“搭配点”），但这未能考虑物理场本身的不均匀性。在中子通量梯度较大的区域，均匀采样往往导致预测误差偏高。

RAR机制的思路非常直观且高效：

1. 在初始均匀采样点集上进行初步训练。
2. 计算当前模型预测结果与偏微分方程之间的残差。
3. 识别出残差最大的区域，并在这些区域动态地增加新的训练点。
4. 结合新旧点集继续训练模型。

这一过程类似于传统数值计算中的“自适应网格加密”，它将计算资源智能地分配到最需要关注的物理区域，显著提升了模型在关键区域的表达能力和整体精度。

（图：经过RAR机制迭代后，训练点在计算域内的分布情况，(b)图为(a)图局部放大）

性能验证与实际效果

在一维、二维乃至多能群、多材料的复杂中子扩散问题算例中，R²-PINN方法均展现出显著优势：

• 精度提升：相较于传统基于FCN的PINN方法，其预测精度提高了1到2个数量级。
• 高效搜索：在反应堆临界参数（如k∞）搜索任务中，仅需约10分钟即可达到10⁻⁵的精度，或在250秒内达到10⁻⁴精度。
• 泛化能力强：相同的网络架构经过微调，可迁移应用于不同几何或材料参数的算例。

（图：R²-PINN预测的不同临界参数（a）k∞=1.0001与（b）k∞=1.0041下的中子通量时空分布）

总结与展望

这项工作不仅为核工程领域的数字反应堆构建、快速安全分析提供了新的高效工具，也为更广泛的科学计算问题提供了启示。它表明，在利用神经网络求解物理问题时，网络架构的精心设计与训练策略的物理启发式优化同等重要。AI并非要替代物理原理，而是通过更智能的方式，帮助我们更高效、更精准地遵守和求解这些物理定律。

原文信息：
Zhang H, He Y L, Liu D, et al. Residual resampling-based physics-informed neural network for neutron diffusion equations[J]. Nuclear Science and Techniques, 2026, 37:28.
原文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s41365-025-01839-5

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