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JS实现春晚魔术：用约瑟夫环原理揭秘刘谦的扑克牌戏法

发表于 7 天前 | 查看: 28| 回复: 0

今年刘谦在春晚上的扑克牌魔术确实让人印象深刻，其核心原理竟然与一个经典的数学问题——约瑟夫环息息相关。今天，我们就抛开魔术的神秘外衣，从程序员的角度，用 JavaScript 代码一步步还原并解析这个魔术的数学内核。

约瑟夫环问题简介

约瑟夫环问题是一个经典的数学游戏。简单描述就是：n个人围成一圈，从第一个人开始报数，报到第k个人就将其淘汰出局；然后从下一个人继续报数，如此循环，直到只剩最后一个人。我们的目标就是找出这个幸存者的位置。

从扑克牌理解约瑟夫环

情景一：最简单的情况

假设只有2张牌（编号1和2）。我们先移动1号牌到底部，然后移除2号牌。你会发现，最后剩下的是最初位于顶部的1号牌。

情景二：牌数为2的n次幂

当牌数恰好是8张（2³）时，我们按照规则（移动一张，移除一张）操作。第一轮会移除所有偶数编号的牌（2,4,6,8），剩下的1,3,5,7重新排好，问题就神奇地变成了一个4张牌（2²）的约瑟夫环问题。
以此类推，可以证明：如果总牌数恰好是2^n张，那么幸存者永远是第一张牌。

情景三：任意数量的牌

对于任意张牌，比如11张。我们可以把它写成 11 = 8（2³） + 3。经过类似操作，你会发现问题最终会退化到一个8张牌的情形。而幸存者的位置，恰好就是原始序列中第 (m+1) 张牌。在这个例子中，m=3，所以幸存者是第4张牌（对应原始序列的第4位）。

魔术步骤拆解与原理分析

现在我们用约瑟夫环的眼光，重新审视刘谦魔术的每一个指令：

初始准备：4张牌对折撕开，得到8张牌，序列为 ABCDABCD。
按名字长度移动：此步骤无论移动几次（名字长度），都不会改变一个关键事实：第4张牌（第一个D）和第8张牌（第二个D）在序列中保持相同。
插入前三张：将顶部三张牌随机插入中间。这个操作的精妙之处在于，它确保了操作后序列的第一张和最后一张牌变得相同。假设操作后序列变为 BxxxxxxB。
藏起第一张：拿走第一张牌 B 放到一边。此时剩余序列为 xxxxxxB，共7张牌。
地域差异（无关步骤）：无论南方人（移动1张）、北方人（移动2张）或不确定（移动3张），这个步骤都不会改变剩余7张牌尾部是 B 的结构。
性别差异（关键步骤）：
- 男生：移除1张牌，剩余 xxxxxB，共6张牌。
- 女生：移除2张牌，剩余 xxxxB，共5张牌。
  这个步骤决定了后续约瑟夫环问题的规模。
“七字咒语”移动：将顶部牌移动到底部，重复7次。这个操作本质上是将序列进行了一个固定的轮转。对于男生（6张牌）和女生（5张牌），经过轮转后，B 牌会被调整到一个特定的、有利的位置。
约瑟夫淘汰环节：最后，执行“好运留下来，烦恼都丢掉”的规则，即典型的约瑟夫环操作（每次将顶部牌移到底部，然后移除新的顶部牌）。
根据约瑟夫环的数学结论：
- 当总牌数为6时（男生），幸存者是第5张牌。
- 当总牌数为5时（女生），幸存者是第3张牌。
  而在我们之前的序列设定中，这两个位置恰好就是那张唯一的 B 牌！

至此，奇迹达成：最后剩下的牌，与步骤4藏起来的那张牌完全一致。

JavaScript 代码完整模拟

下面是使用 JavaScript 对整个魔术过程进行模拟的完整代码：

// 定义一个函数，用于把牌堆顶n张牌移动到末尾
function moveCardBack(n, arr) {
    // 循环n次，把队列第一张牌放到队列末尾
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const moveCard = arr.shift();  // 弹出队头元素，即第一张牌
        arr.push(moveCard);            // 把原队头元素插入到序列末尾
    }
    return arr;
}

// 定义一个函数，用于把牌堆顶n张牌移动到中间的任意位置
function moveCardMiddleRandom(n, arr) {
    // 插入在arr中的的位置，随机生成一个idx
    // 这个位置必须是在n+1到arr.length-1之间
    const idx = Math.floor(Math.random() * (arr.length - n - 1)) + n + 1;
    // 执行插入操作
    const newArr = arr.slice(n, idx).concat(arr.slice(0, n)).concat(arr.slice(idx));
    return newArr;
}

// 步骤1：初始化8张牌，假设为"ABCDABCD"
let arr = ["A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D"];
console.log("步骤1：拿出4张牌，对折撕成8张，按顺序叠放。");
console.log("此时序列为：" + arr.join('') + "\n---");

// 步骤2（无关步骤）：名字长度随机选取，这里取2到5（其实任意整数都行）
const nameLen = Math.floor(Math.random() * 4) + 2;
// 把nameLen张牌移动到序列末尾
arr = moveCardBack(nameLen, arr);
console.log(`步骤2：随机选取名字长度为${nameLen}，把第1张牌放到末尾，操作${nameLen}次。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤3（关键步骤）：把牌堆顶三张放到中间任意位置
arr = moveCardMiddleRandom(3, arr);
console.log(`步骤3：把牌堆顶3张放到中间的随机位置。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤4（关键步骤）：把最顶上的牌拿走
const restCard = arr.shift();  // 弹出队头元素
console.log(`步骤4：把最顶上的牌拿走，放在一边。`);
console.log(`拿走的牌为：${restCard}`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤5（无关步骤）：根据南方人/北方人/不确定，把顶上的1/2/3张牌插入到中间任意位置
// 随机选择1、2、3中的任意一个数字
const moveNum = Math.floor(Math.random() * 3) + 1;
arr = moveCardMiddleRandom(moveNum, arr);
console.log(`步骤5：我${moveNum === 1 ? '是南方人' : moveNum === 2 ? '是北方人' : '不确定自己是哪里人'}，\
把${moveNum}张牌插入到中间的随机位置。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤6（关键步骤）：根据性别男或女，移除牌堆顶的1或2张牌
const maleNum = Math.floor(Math.random() * 2) + 1;  // 随机选择1或2
for (let i = 0; i < maleNum; i++) {  // 循环maleNum次，移除牌堆顶的牌
    arr.shift();
}
console.log(`步骤6：我是${maleNum === 1 ? '男' : '女'}生，移除牌堆顶的${maleNum}张牌。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤7（关键步骤）：把顶部的牌移动到末尾，执行7次
arr = moveCardBack(7, arr);
console.log(`步骤7：把顶部的牌移动到末尾，执行7次`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤8（关键步骤）：执行约瑟夫环过程。把牌堆顶一张牌放到末尾，再移除一张牌，直到只剩下一张牌。
console.log(`步骤8：把牌堆顶一张牌放到末尾，再移除一张牌，直到只剩下一张牌。`);
while (arr.length > 1) {
    const luck = arr.shift();  // 好运留下来
    arr.push(luck);
    console.log(`好运留下来：${luck}\t\t此时序列为：${arr.join('')}`);
    const sadness = arr.shift();  // 烦恼都丢掉
    console.log(`烦恼都丢掉：${sadness}\t\t此时序列为：${arr.join('')}`);
}
console.log(`---\n最终结果：剩下的牌为${arr[0]}，步骤4中留下来的牌也是${restCard}`);

将上述代码复制到浏览器的开发者工具控制台或Node.js环境中运行，每次都会验证这个魔术的必然性——最后剩下的牌，总是步骤4中抽走的那一张。

魔术操作步骤示意图