在信号与系统或控制系统的学习中，系统的零点和极点决定了其动态响应的核心特征，特别是对单位冲击响应（Impulse Response）的影响。这种关系在S域分析中尤为直观，让我们通过一系列图示来深入理解。
1. 极点位于实轴左侧：衰减响应
当系统的极点位于S平面的负实轴上（即实部为负），对应的冲击响应是一个随时间逐渐衰减的指数函数，系统是稳定的。
如图所示，传递函数 H(s) = 1/(s+a) 的极点位于 s = -a 处（a>0），其对应的时域冲击响应为 h(t) = e^{-at} (t≥0)，呈现指数衰减趋势。
2. 极点位于实轴右侧：发散响应
相反，如果极点位于S平面的正实轴上（实部为正），系统的冲击响应会随时间指数增长，这意味着系统不稳定。
此时，传递函数形式类似 1/(s-a)（a>0），极点位于 s=a，对应的冲击响应为 h(t)=e^{at}，曲线随时间增长而发散。
3. 极点位于虚轴上：等幅振荡
当极点纯粹位于虚轴上（实部为零），系统会产生持续的、没有衰减的振荡，这处于稳定与不稳定的临界状态。
例如，传递函数 H(s) = ω/(s²+ω²) 的极点位于 s = ±jω，其冲击响应为 h(t) = sin(ωt)，是一个标准的正弦波。
4. 极点位于左半复平面（实部为负，虚部不为零）：衰减振荡
更常见的情况是，极点位于虚轴左侧的复平面上，即同时具有负的实部和不为零的虚部。这对应着系统响应是振荡的，但振荡幅度会随时间衰减，系统稳定。
传递函数 ω / ((s+a)²+ω²) 的极点位于 s = -a ± jω，冲击响应为 h(t) = e^{-at} sin(ωt)，是一个被指数包络线 e^{-at} 衰减的正弦波。
5. 极点位于右半复平面（实部为正，虚部不为零）：增幅振荡
若极点位于虚轴右侧的复平面上，即实部为正且虚部不为零，系统响应将是振荡幅度不断增大的增幅振荡，系统不稳定。
传递函数 ω / ((s-a)²+ω²) 的极点位于 s = a ± jω，冲击响应为 h(t) = e^{at} sin(ωt)，振荡幅度被增长的指数 e^{at} 所放大。
核心结论总结
通过以上分析，我们可以得出关于系统稳定性和响应特性的关键结论：
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稳定性判据：
- 稳定：只要系统的所有极点都位于S平面的虚轴左侧（即实部小于零），系统的冲击响应最终会衰减至零，系统是稳定的。
- 不稳定：只要系统存在极点位于S平面的虚轴右侧（即实部大于零），系统的响应就会发散，系统不稳定。
- 临界稳定：当极点恰好位于虚轴上（实部为零），系统响应为等幅振荡，工程上通常也视为不稳定或需要特别处理的情况。
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振荡特性：
- 极点的虚部决定了系统响应是否振荡以及振荡的频率。当极点虚部不为零时，时域响应就会出现正弦或余弦分量，表现为振荡。
- 极点的实部决定了振荡的包络线是衰减（实部为负）、等幅（实部为零）还是增长（实部为正）。
理解零极点分布与系统冲击响应之间的关系，是进行控制系统设计、滤波器设计以及信号与系统性能分析的基础。希望这篇在云栈社区的梳理能帮助你更直观地掌握这一核心概念。 | 
发表于 昨天 02:42
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