引言
商空间是拓扑学中“粘合”（gluing）或“坍缩”（collapsing）的形式化工具。给定一个拓扑空间 $X$ 和一个满射 $q: X \to Y$，我们可以把 $X$ 的拓扑“推”到 $Y$ 上，得到一种使 $q$ 连续的最细拓扑，称为商拓扑。
本讲主要完成三件事：
- 给出商拓扑的严格定义并验证它确实是拓扑；
- 把满射、划分、等价关系三者统一起来；
- 通过经典例子建立几何直观（区间两端粘成圆、圆盘边界粘成球面、正方形粘成环面、锥、楔和）。
1. 商拓扑的定义
定义（商拓扑）
设 $X$ 是拓扑空间，$Y$ 是任意集合，$q: X \to Y$ 是满射。在 $Y$ 上定义拓扑 $\mathcal{T}_q$ 如下：
对任意子集 $U \subseteq Y$，
$$
U \in \mathcal{T}_q \iff q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中开}
$$
称 $\mathcal{T}_q$ 为 $Y$ 上的商拓扑（quotient topology），称 $Y$ 为商空间，称 $q$ 为商映射（quotient map）。
直观理解：
商拓扑是把 $X$ 的开集“顺着 $q$ 往前推”得到的。一个集合在 $Y$ 中开，当且仅当它的原像在 $X$ 中开。
基本性质：
- $q$ 本身连续（由定义直接得到）。
- 商拓扑是使 $q$ 连续的最细拓扑：任何比 $\mathcal{T}_q$ 更细的拓扑都会使某个集合的原像不再开，从而破坏连续性。
2. 验证商拓扑确实是拓扑
设 $\{U_\alpha\}$ 是 $Y$ 中任意一族开集。
-
空集与全集
$q^{-1}(\varnothing) = \varnothing$，$q^{-1}(Y) = X$。二者在 $X$ 中均开，故 $\varnothing, Y \in \mathcal{T}_q$。
-
任意并
每个 $q^{-1}(U_\alpha)$ 开，任意并仍开，故并集在 $\mathcal{T}_q$ 中。
-
有限交
有限交仍开，故有限交在 $\mathcal{T}_q$ 中。
因此 $\mathcal{T}_q$ 满足拓扑公理。
3. 满射的三种等价观点
满射 $q: X \to Y$ 可以用三种完全等价的方式理解：
（1）作为函数
最直接的观点：$q$ 把 $X$ 的点送到 $Y$ 的点。
（2）作为划分（Partition）
对每个 $y \in Y$，纤维
$$
q^{-1}(y) = \{x \in X \mid q(x) = y\}
$$
构成 $X$ 的一个划分：
- 非空（因为 $q$ 满射）；
- 两两不交；
- 并集等于 $X$。
反过来，给定 $X$ 的一个由 $Y$ 指标化的划分 $\{A_y\}_{y \in Y}$，定义
$$
q(x) = y \iff x \in A_y
$$
则 $q$ 是满射，且纤维恰好是这些部分。两种构造互为逆。
（3）作为等价关系（Equivalence Relation）
在 $X$ 上定义关系
$$
x \sim x' \iff q(x) = q(x')
$$
即它们属于同一纤维。这是等价关系，其等价类恰好是纤维。
反过来，任意等价关系 $\sim$ 的等价类构成 $X$ 的划分，从而对应一个满射。
总结：
满射 $q$ ↔ 划分 ↔ 等价关系
三者一一对应。在构造商空间时，我们常常直接说“把某些点粘在一起”（即声明它们等价），然后取商拓扑。
4. 经典例子
例1：单位区间两端粘合 → 圆 $S^1$
取 $X = [0,1]$（子空间拓扑），定义等价关系：
$$
0 \sim 1
$$
设 $q: [0,1] \to [0,1]/\sim$ 为商映射。
几何直观：把一根绳子的两端粘在一起，得到一个圆。
商空间 $[0,1]/\sim$ 与 $S^1$ 同胚（严格证明将在后续利用商映射的泛性质给出）。
例2：圆盘边界粘合 → 球面 $S^2$
取闭圆盘 $X = D^2$。
在边界上声明等价关系后，得到商空间 $D^2/\partial D^2$。
几何直观：把圆盘沿直径对折，把上下边界对应点粘住，再把得到的半圆盘“吹鼓”成球面。最终结果同胚于 $S^2$。
需要注意的是，这里的正确构造应当是“把整个边界圆周压成一个点”，而不能简单理解为“对称点两两粘合”。后者得到的是实射影平面 $\mathbb{R}P^2$，而不是球面。
例3：正方形粘合 → 环面 $T^2$
取正方形 $X = [0,1] \times [0,1]$，声明两类等价：
- 上下边：$(x,0) \sim (x,1)$ 对所有 $x$；
- 左右边：$(0,y) \sim (1,y)$ 对所有 $y$。
几何直观：
- 先把上下边粘合 → 得到圆柱面；
- 再把圆柱的两端（原来的左右边）粘合 → 得到环面（甜甜圈表面）。
商空间 $X/\sim$ 同胚于环面 $T^2$。
例4：锥（Cone）
设 $X$ 是任意拓扑空间。在乘积空间 $X \times I$（$I = [0,1]$）上声明
$$
(x,0) \sim (x',0) \quad \text{对所有 } x,x' \in X
$$
即把整个底面 $X \times \{0\}$ 坍缩成一个点。得到的商空间记为 $CX$，称为 $X$ 上的锥。
几何直观：把 $X$ 沿着高度方向拉伸成柱体，再把底面全部捏成一点，形成锥形。
例5：楔和（Wedge Sum）
设 $X, Y$ 是带基点的空间，基点分别为 $x_0$、$y_0$。
在不交并 $X \amalg Y$ 上声明
$$
x_0 \sim y_0
$$
得到的商空间记为 $X \vee Y$，称为楔和。
几何直观：把两个空间在各自的基点处“粘成一点”。例如两个圆在一点粘合得到“8”字形空间。
5. 总结与后续预告
本讲建立了商空间的基本语言：
- 定义与验证；
- 满射 = 划分 = 等价关系的对应；
- 五个核心几何例子，建立“粘合直觉”。
后续两讲将引入更强有力的工具：
- 饱和集刻画商映射；
- 商空间的泛性质（Universal Property），用来高效证明两个商空间同胚；
- 开映射、闭映射与商映射的关系。
有了这些工具后，本讲中“看起来像圆/球面/环面”的说法都可以被严格证明。
图解
这张图讲的是拓扑学里一个非常重要、也非常“有手工感”的概念：商空间（quotient space）。
如果说“子空间”是在一个空间里剪下一块，那么“商空间”就是把原空间中的某些点粘在一起、压缩在一起、视为同一个点，从而制造出一个新的空间。
整张图可以用一句话概括：
先规定哪些点应该被认为是同一个点，再给粘合后的新空间规定一个恰当的拓扑。
而且，这张海报里有一个值得特别纠正的地方：“圆盘变球面”的示意图文字容易导致一个实质性的数学错误。后面会专门讲。
一、先抓住核心：什么叫“商”
我们从一个拓扑空间 $X$ 出发。
例如，最简单：
$$
X = [0,1]
$$
现在我们说：
把 $0$ 和 $1$ 当成同一个点。
也就是说，在新空间里，
$$
0 = 1
$$
其他点仍然各自独立。
结果是什么？
一条线段的两个端点粘起来，就变成了：
$$
S^1
$$
也就是圆周。
因此我们写：
$$
[0,1]/(0 \sim 1)
$$
这里的斜杠“/”可以直观理解为：
按照后面的规则把点合并。
二、图片最上方：$q: X \to Y$ 到底发生了什么
图片顶部画了一个很乱的空间 $X$，然后有一个箭头：
$$
q: X \to Y
$$
这里的 $q$ 叫做：
商映射 quotient map
它最重要的特点是：
$$
q \text{ 是满射}
$$
也就是：
$$
q(X) = Y
$$
为什么一定要满射？
因为 $Y$ 中每一个点，本质上都应该代表 $X$ 中的一“坨”点。
1. 一个 $Y$ 中的点，可能对应 $X$ 中很多点
假设
$$
q(x_1) = q(x_2) = q(x_3) = y
$$
那么在商空间里：
$$
x_1, x_2, x_3
$$
都被“粘”成了同一个点 $y$。
所以可以把 $q$ 想象成一个压缩机：
$$
q: X \to Y
$$
例如：
$$
q: [0,1] \to S^1, \quad q(t) = e^{2\pi i t}
$$
就是把线段两个端点压成一个点。
三、纤维 fiber：理解商空间最重要的几何对象之一
对于 $y \in Y$，定义
$$
q^{-1}(y)
$$
为 $y$ 的纤维（fiber）。
它表示：
哪些 $X$ 中的点最后被压成了 $y$。
例如：
$$
q(x_1) = q(x_2) = q(x_3) = y
$$
那么这三个点属于同一个“粘合组”。
图片中不同的小点、曲线连向 $Y$ 中同一点，就是这个意思。
四、Function、Partition、Equivalence Relation，其实是同一件事
图片右中部非常重要：
Function vs. Partition vs. Equivalence Relation
它要表达：
三种语言描述的是同一个商空间结构。
第一种语言：函数
使用一个满射：
$$
q: X \to Y
$$
两个点如果被送到同一个地方：
$$
q(x) = q(x')
$$
就意味着它们被粘在一起。
第二种语言：划分 Partition
所有具有相同 $q(x)$ 值的点组成一块：
$$
q^{-1}(y)
$$
于是整个 $X$ 被分成很多互不相交的块：
$$
X = \bigcup_{y \in Y} q^{-1}(y)
$$
每一块就是一个 fiber。
例如：
$$
q: X \to \{*\}
$$
商空间把整个 $X$ 压成一个点。于是：
$$
q^{-1}(*) = X
$$
第三种语言：等价关系
定义
$$
x \sim x' \iff q(x) = q(x')
$$
于是：
$$
[x] = q^{-1}(q(x))
$$
就是 $x$ 的等价类。
而商空间就是所有等价类组成的集合：
$$
X/\sim = \{[x] \mid x \in X\}
$$
所以从集合论来看：
$$
Y \cong X/\sim
$$
这是理解整张图最重要的一句话之一。
五、那么为什么还需要“商拓扑”
到这里我们只是知道：
哪些点被粘在一起。
但这只给出了一个集合。
拓扑学还需要回答：
新空间里哪些集合算开集？
这才轮到图片最核心的公式：
$$
U \subseteq Y \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中开}
$$
这就是：
商拓扑 quotient topology
的定义。
六、为什么要看原像 $q^{-1}(U)$
这是整个概念最容易让初学者困惑的地方。
不要先想公式。
想象我们把 $X$ 揉、粘、压缩成 $Y$。
现在有人指着 $Y$ 中一片区域 $U$，问：
“这片区域是不是开放的？”
由于 $Y$ 是从 $X$ 制造出来的，我们干脆把它拉回 $X$：
$$
q^{-1}(U)
$$
然后检查：
它在原空间 $X$ 中是不是开放的？
如果是，就宣布：
$$
U \text{ 在 } Y \text{ 中开}
$$
因此商拓扑的哲学就是：
新空间的开放性，由旧空间来判定。
七、一个特别值得记住的口诀
可以把商拓扑记成：
$$
U \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 开}
$$
也就是：
$$
\mathcal{T}_q = \{U \subseteq Y \mid q^{-1}(U) \in \mathcal{T}_X\}
$$
注意这是：
$$
\text{“当且仅当”}
$$
不是只有一个方向。
八、为什么图片说它是“finest topology”
图片右上角说：
The “Finest” Connection
这里的 finest 是：
最细拓扑
什么意思？
拓扑越细，包含的开集越多。
假设我们想让
$$
q: X \to Y
$$
连续。
连续要求：
$$
U \subseteq Y \text{ 开} \Rightarrow q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中开}
$$
所以你不能随便把某个 $U \subseteq Y$ 宣布成开集。
如果
$$
q^{-1}(U)
$$
在 $X$ 里不是开集，那么 $U$ 就不能加入拓扑，否则 $q$ 就不连续了。
因此我们索性把所有允许加入的集合全部加入：
$$
\mathcal{T}_q = \{U \subseteq Y \mid q^{-1}(U) \text{ 开}\}
$$
这样得到：
在保证 $q$ 连续的所有拓扑中，开集最多的那个。
所以它确实是：
$$
\text{finest topology making } q \text{ continuous}
$$
九、这里有一个细微但重要的逻辑问题
图片写：
Given a space $X$ and a surjective map $q: X \to Y$...
严格说应该理解为：
$Y$ 此时先只是一个集合，然后用上面的规则在 $Y$ 上定义拓扑。
这样 $q$ 自动成为商映射。
但是如果 $Y$ 已经带有一个拓扑，那么不能说：
所有连续满射都是 quotient map。
事实上：
$$
q \text{ 连续满射}
$$
不一定是：
$$
\text{quotient map}
$$
商映射还要求：
$$
U \subseteq Y \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 开}
$$
连续只给其中一半：
$$
U \text{ 开} \Rightarrow q^{-1}(U) \text{ 开}
$$
这个区别以后会很重要。
十、图片左中部：为什么这真的是一个拓扑
海报接下来验证三条拓扑公理。
设：
$$
\mathcal{T}_q = \{U \subseteq Y \mid q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中开}\}
$$
我们需要证明它是拓扑。
公理 1：空集和全集
因为：
$$
q^{-1}(\varnothing) = \varnothing
$$
而
$$
q^{-1}(Y) = X
$$
$\varnothing$ 和 $X$ 都是 $X$ 中的开集。
所以：
$$
\varnothing, Y \in \mathcal{T}_q
$$
十一、公理 2：任意并
假设每个 $U_\alpha$ 都是 $\mathcal{T}_q$ 中开集。
那么：
$$
q^{-1}(U_\alpha)
$$
都是 $X$ 中开集。
利用集合论恒等式：
$$
q^{-1}\left(\bigcup_\alpha U_\alpha\right) = \bigcup_\alpha q^{-1}(U_\alpha)
$$
右边是任意多个开集的并，因此仍然开放。
所以：
$$
\bigcup_\alpha U_\alpha
$$
也是 $\mathcal{T}_q$ 中开集。
十二、公理 3：有限交
类似地：
$$
q^{-1}(U_1 \cap U_2) = q^{-1}(U_1) \cap q^{-1}(U_2)
$$
两个开集有限交仍开放，所以：
$$
U_1 \cap U_2
$$
开放。
更一般：
$$
q^{-1}\left(\bigcap_{i=1}^n U_i\right) = \bigcap_{i=1}^n q^{-1}(U_i)
$$
于是三条拓扑公理全部成立。
十三、为什么商拓扑的定义这么“自然”
你可能会问：
为什么偏偏这样定义？
因为原像与集合运算配合得极其完美：
$$
q^{-1}(U \cup V) = q^{-1}(U) \cup q^{-1}(V)
$$
$$
q^{-1}(U \cap V) = q^{-1}(U) \cap q^{-1}(V)
$$
以及
$$
q^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus q^{-1}(U)
$$
所以连续性天然适合用原像描述。
这也是为什么拓扑学中连续函数的定义始终强调：
$$
U \text{ 开} \Rightarrow f^{-1}(U) \text{ 开}
$$
十四、第一个经典例子：线段变圆
图片中：
Turning a String into a Circle
从：
$$
X = [0,1]
$$
开始。
规定：
$$
0 \sim 1
$$
其他点只和自己等价。
于是：
$$
X/\sim = [0,1]/(0 \sim 1)
$$
几何上相当于：
- 把线段弯起来；
- 让两个端点靠近；
- 把 $0$ 和 $1$ 粘在一起。
得到：
$$
S^1
$$
所以：
$$
[0,1]/(0 \sim 1) \cong S^1
$$
十五、可以写一个实际的 quotient map
例如：
$$
q: [0,1] \to S^1
$$
其中：
$$
q(t) = e^{2\pi i t}
$$
因为：
$$
q(0) = e^{0} = 1
$$
$$
q(1) = e^{2\pi i} = 1
$$
所以：
$$
0, 1
$$
正好被送到圆周上的同一个点。
而对于：
$$
0 < t < 1
$$
通常不同的 $t$ 对应圆上的不同点。
这就是“端点粘合”的精确函数版本。
十六、一个很有意思的现象：圆上粘合点附近的开集
假设圆周上取粘合点附近一个小弧段：
U
\ • /
\ /
它拉回 $X = [0,1]$ 后，并不是一个普通的小区间。
而是：
$$
(0,\varepsilon) \cup (1-\varepsilon, 1)
$$
也就是说：
0=======================1
|---| |---|
左右两头虽然在原线段里离得很远，但商空间里已经变成邻居了。
这正好揭示：
商空间真正改变的不是“坐标距离”，而是邻域关系。
十七、第二个例子：圆盘如何得到球面
这部分是图片里最需要澄清的地方。
图片写的是：
Inflating a Disk into a Sphere
“Gluing boundary (symmetric points)”
如果“symmetric points”表示：
把圆周上的对称点、对径点两两识别，
那结果不是 $S^2$。
十八、正确的球面构造是：整个边界压成一个点
取闭圆盘：
$$
D^2 = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}
$$
把圆周边界
$$
\partial D^2 = S^1
$$
上的所有点全部识别成同一个点：
$$
(x,y) \sim (x',y') \quad \text{当 } (x,y),(x',y') \in \partial D^2
$$
那么：
$$
D^2/\partial D^2
$$
这里的符号：
$$
D^2/\partial D^2
$$
通常就是：
把整个 $\partial D^2$ 压缩成一点。
十九、为什么这样能得到球面
想象一块圆形橡皮膜。
内部不动。
把整圈边缘：
$$
\partial D^2
$$
全部捏到同一个点。
然后把内部鼓起来。
就像把一个圆盘变成一个“袋子”，最后边缘全部汇聚到球面的北极。
圆盘内部对应：
$$
S^2 \setminus \{\text{北极}\}
$$
整个边界对应：
$$
\text{北极}
$$
因此结果就是一个球面。
二十、如果真的是“对径点两两粘合”会怎样
如果规定：
$$
x \sim -x \quad \text{对 } x \in \partial D^2
$$
也就是圆周上的相反点配对：
A
•
|
B •----+----• B'
|
•
A'
那么得到的不是球面，而是：
$$
\mathbb{R}P^2
$$
即：
实射影平面 real projective plane
因此图片这里最好改写成：
Collapse the entire boundary $\partial D^2$ to a single point
而不是含糊地说：
Gluing boundary symmetric points.
这是本图最重要的数学纠错。
二十一、第三个经典例子：正方形变环面 Torus
图片中央的大图非常经典：
Constructing a Torus from a Square
从正方形：
$$
X = [0,1] \times [0,1]
$$
开始。
第一步：粘上下两边
规定：
$$
(x,0) \sim (x,1)
$$
也就是：
top ←────────
□
bottom ←────────
对应位置粘起来。
结果得到一个圆柱：
$$
[0,1] \times S^1
$$
二十二、为什么是圆柱
因为上下方向本来是区间：
$$
[0,1]
$$
把两端粘起来：
$$
0 \sim 1
$$
所以一个坐标变成圆：
$$
S^1
$$
另一个坐标仍然是：
$$
[0,1]
$$
因此得到：
$$
S^1 \times [0,1]
$$
也就是圆柱的侧面。
二十三、第二步：再粘圆柱两端
现在把：
$$
(0,y)
$$
和：
$$
(1,y)
$$
对应粘合。
直观上就是把圆柱弯起来：
________
/ \
| |
\__________/
然后两端接起来。
得到：
$$
T^2
$$
这就是环面：
$$
S^1 \times S^1
$$
也就是甜甜圈表面。
二十四、箭头方向为什么重要
这张图用红色和蓝色箭头标记边。
这不是装饰。
它表示：
粘合时，哪一点应该对应哪一点。
构造普通环面时：
$$
(x,0) \sim (x,1)
$$
以及
$$
(0,y) \sim (1,y)
$$
也就是对应边按照一致方向粘合。
如果把某一对边反向粘：
$$
(0,y) \sim (1,1-y)
$$
可能得到完全不同的空间，例如 Klein bottle 等。
所以：
$$
\text{粘合方向改变，商空间可能完全不同}
$$
二十五、第四个例子：锥空间 Cone
图片左下角：
Collapsing into a Cone
从：
$$
X \times I
$$
开始。
这是一个“圆柱型”的积空间。
例如当：
$$
X = S^1
$$
那么：
$$
S^1 \times I
$$
就是圆柱侧面。
现在把底部：
$$
X \times \{0\}
$$
的所有点压成一个点。
即：
$$
(x,0) \sim (x',0) \quad \text{对所有 } x,x' \in X
$$
得到：
$$
CX = (X \times I)/(X \times \{0\})
$$
称为：
$X$ 的锥 cone
二十六、如果 $X = S^1$ 呢
那么：
$$
CS^1
$$
就是普通圆锥面连同内部意义下的拓扑锥模型。
顶部的整个圆周保留。
底部一整圈被压成：
$$
\text{一个点}
$$
所以：
$$
CS^1 \text{ 看起来像普通圆锥的侧面和内部}
$$
当然有些教材把 $X \times \{1\}$ 压成一点；只是约定不同，本质一样。
二十七、第五个例子：Wedge Sum 楔和
图片右下：
$$
S^1 \vee S^1
$$
开始有两个圆：
$$
X = S^1, \quad Y = S^1
$$
分别选一个基点：
$$
x_0 \in X, \quad y_0 \in Y
$$
然后规定：
$$
x_0 \sim y_0
$$
除此以外不粘其他点。
得到：
○•○
也就是“8”字形：
$$
S^1 \vee S^1
$$
二十八、一般定义
如果有两个带基点空间：
$$
(X,x_0), \quad (Y,y_0)
$$
先做不交并：
$$
X \amalg Y
$$
然后只把：
$$
x_0 \sim y_0
$$
于是：
$$
X \vee Y = (X \amalg Y)/(x_0 \sim y_0)
$$
这就是楔和。
这和你前面学的不相交并空间正好连接起来：
$$
X \vee Y \text{ 中，只有基点被合并}
$$
二十九、商空间真正的本质：不是“变形”，而是“遗忘区别”
这一点特别重要。
看图很容易以为 quotient space 就是：
把橡皮泥弯一弯、折一折。
实际上不是。
真正的数学操作是：
$$
x \sim x'
$$
例如：
$$
0 \neq 1
$$
在线段里成立。
但商空间中：
$$
[0] = [1]
$$
所以 quotient 的本质更像：
忘掉某些信息。
三十、一个特别重要的概念：饱和集 saturated set
图片没有强调，但理解商拓扑时非常有帮助。
假设：
$$
q: X \to Y
$$
如果一个集合 $A \subseteq X$ 一旦包含某个点，就把和它等价的全部点一起包含，那么称 $A$ 是：
饱和集 saturated set
等价地：
$$
A = q^{-1}(q(A))
$$
例如在线段粘端点：
$$
X = [0,1], \quad 0 \sim 1
$$
那么：
$$
\left[0, \frac{1}{2}\right)
$$
不是饱和的。
因为既然包含 $0$，就应该同时包含与它等价的 $1$。
而：
$$
[0,1]
$$
才是饱和的。
三十一、为什么 saturated 很重要
因为任何：
$$
U \subseteq Y
$$
的原像：
$$
q^{-1}(U)
$$
自动是饱和集。
因此，商空间里的开集实际上对应于：
$X$ 中那些开放且饱和的集合。
准确地说：
$$
U \text{ 在 } Y \text{ 中开}
$$
当且仅当：
$$
q^{-1}(U)
$$
是 $X$ 中的开集；而它天然又是 saturated。
这给出了一个很有用的几何直觉。
三十二、再来看“线段粘圆”的例子
$$
q: [0,1] \to S^1
$$
圆上经过粘合点的一个开弧段 $U$，其原像大约是：
$$
[0,\varepsilon) \cup (1-\varepsilon,1]
$$
注意：
$$
0 \in [0,\varepsilon)
$$
和
$$
1 \in (1-\varepsilon,1]
$$
必须一起出现。
这正是 saturated 的意义。
三十三、商空间最重要的高级性质：商映射的万能性质
这是图片没有画出来、但极其重要的一步。
设：
$$
q: X \to X/\sim
$$
是自然商映射。
现在有一个函数：
$$
f: X \to Z
$$
如果 $f$ 对每个等价类都是常数，即：
$$
x \sim x' \Rightarrow f(x) = f(x')
$$
那么 $f$ 实际上“不区分那些已经被粘合的点”。
因此它可以下降成一个函数：
$$
\tilde{f}: X/\sim \to Z
$$
使得：
$$
f = \tilde{f} \circ q
$$
图形就是：
$$
X \xrightarrow{f} Z
$$
$$
X/\sim \xrightarrow{\tilde{f}} Z
$$
而且：
$$
\tilde{f} \text{ 连续} \iff f \text{ 连续}
$$
前提是 $f$ 在等价类上保持常值。
三十四、为什么这个性质如此重要
因为它告诉我们：
要从商空间定义连续函数，不必直接在那个奇形怪状的新空间上操作。
只需要：
- 回到熟悉的 $X$；
- 定义 $f$；
- 检查被粘在一起的点得到相同函数值。
就可以得到：
$$
\tilde{f}: X/\sim \to Z
$$
这是实际证明：
$$
[0,1]/(0 \sim 1) \cong S^1
$$
时最常用的方法之一。
三十五、把整张图压缩成一条逻辑链
这张海报实际上是在讲下面这一条链：
$$
X
$$
决定：
$$
x \sim x'
$$
等价类形成：
$$
X/\sim
$$
然后自然投影：
$$
q: X \to X/\sim
$$
最后通过：
$$
U \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 开}
$$
定义：
$$
\mathcal{T}_q
$$
于是：
$$
X/\sim
$$
真正成为一个拓扑空间。
三十六、五个例子放在一起看
这张图中的五个例子，本质完全一样：
| 原空间 |
粘合规则 |
得到的空间 |
| $[0,1]$ |
$0 \sim 1$ |
$S^1$ |
| $D^2$ |
整个 $\partial D^2$ 压成一点 |
$S^2$ |
| $[0,1] \times [0,1]$ |
对边按正确方向配对 |
$T^2$ |
| $X \times I$ |
$X \times \{0\}$ 压成一点 |
$CX$ |
| $X \amalg Y$ |
$x_0 \sim y_0$ |
$X \vee Y$ |
所以看起来五花八门，底层只有一种操作：
$$
\text{把点粘合，再取商拓扑}
$$
三十七、与前面几个拓扑概念的关系
你前面已经学过子空间拓扑、积拓扑、不相交并拓扑，现在商拓扑刚好补齐四种极其基本的“空间制造方法”。
可以这样对照：
子空间
从 $X$ 里：
$$
A \subseteq X
$$
得到：
$$
A
$$
例如：
$$
[0,1] \subseteq \mathbb{R}
$$
积空间
把两个空间：
$$
X, Y
$$
得到：
$$
X \times Y
$$
不相交并
把很多空间：
$$
X_\alpha
$$
得到：
$$
\bigsqcup_\alpha X_\alpha
$$
商空间
把一些点：
$$
x \sim x'
$$
得到：
$$
X/\sim
$$
所以可以记：
$$
\text{子空间：剪} \quad \text{积空间：乘} \quad \text{不相交并：并} \quad \text{商空间：粘}
$$
三十八、这张图片有三点值得修正或特别澄清
① 圆盘 $D^2$ 那部分的措辞不准确
正确的是：
$$
D^2/\partial D^2
$$
即：
把整个边界圆周全部压缩成一个点。
如果是“对称点/对径点两两粘合”：
$$
x \sim -x
$$
得到的是：
$$
\mathbb{R}P^2
$$
而不是 $S^2$。
这是本图最需要修改的一处。
② “surjective map”最好再加限定
若 $Y$ 尚未给拓扑，确实可以通过
$$
U \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 开}
$$
定义商拓扑。
但如果 $X, Y$ 本来都已经是拓扑空间：
$$
q \text{ 连续满射}
$$
不能和
$$
\text{quotient map}
$$
混为一谈。
③ Torus 的“粘边方向”必须强调
不能只说：
glue opposite edges。
更准确的是：
identify opposite edges according to the indicated orientations.
因为不同方向的粘合法可能产生：
$$
T^2, \quad \text{Klein bottle}, \quad \mathbb{R}P^2
$$
等完全不同的拓扑空间。
三十九、最后用一个“橡皮泥工厂”比喻记住整章
想象 $X$ 是一块橡皮泥，上面每一个点都有编号。
商映射 $q$ 给出一张“粘合清单”：
$$
q(x) = q(x')
$$
工厂把同组编号焊成一个点。
于是得到新空间：
$$
Y
$$
但工厂还必须解决一个问题：
新空间中什么叫“小邻域”？
规则就是：
$$
U \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中开}
$$
所以从本质上说：
$$
\text{商空间} = \text{点集粘合} + \text{商拓扑}
$$
而整张图片中最值得牢牢记住的四个公式是：
$$
q^{-1}(U \cup V) = q^{-1}(U) \cup q^{-1}(V)
$$
$$
q^{-1}(U \cap V) = q^{-1}(U) \cap q^{-1}(V)
$$
$$
U \subseteq Y \text{ 开} \iff q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中开}
$$
$$
X/\sim = \{[x] \mid x \in X\}
$$
以及五个经典模型：
$$
[0,1]/(0 \sim 1) \cong S^1
$$
$$
D^2/\partial D^2 \cong S^2
$$
$$
[0,1]^2/((x,0)\sim(x,1), (0,y)\sim(1,y)) \cong T^2
$$
$$
(X \times I)/(X \times \{0\}) = CX
$$
$$
(X \amalg Y)/(x_0 \sim y_0) = X \vee Y
$$
如果把这一页继续往后学，下一步最值得深入的是“为什么 $[0,1]/(0 \sim 1) \cong S^1$”以及“为什么正方形粘边真能严格证明得到 $T^2$”。这两个例子会让“商拓扑”从抽象公式真正变成几何直觉。
发表于 2 小时前
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