数学系的学生该怎么学 AI？多数人的路径可能是自学：看到别人用过什么工具，照猫画虎装一遍，碰到问题再去搜。斯坦福大学数学系在 2026 年秋季学期直接把这件事变成了一门正式课程——MATH 289《Mathematical Practice in a Changing World》（变化世界中的数学实践），3 个学分，每周一、三上午上课，专门面向在读数学博士生，不要求任何编程或 AI 经验，本科生和硕士生不能选。
课程基本信息如下：
这门课的特别之处，在于它把"AI 时代的数学研究"拆成了一条完整的学习线索：先教终端和 Python 这类编程基本功，再讲神经网络和大语言模型的原理，然后进入思维链推理、智能体工程，最后落到 Lean 形式化证明和 GPU 成本估算这种相当实际的问题上。
授课教师是斯坦福数学系副教授 Otis Chodosh，几何分析方向的学者，今年刚拿了科学突破奖基金会颁发的 2026 年数学新视野奖；两名共同授课的"学生带头人"刘抒睿（Shurui Liu）和 Fred Rajasekaran 都是斯坦福数学系在读博士生。
课程的开篇阅读也选得有讲究：一篇是菲尔兹奖得主 Thurston 写于 1994 年的《论数学中的证明与进步》，一篇是 MIT 数学系教授 Etingof 今年 5 月写的《数学研究中 AI 的使用：给年轻数学家的指南》。一门课的三位教师、两篇阅读，基本把"数学家如何看待 AI"这个问题从 1994 年一直串到了今天。
一、课程基本信息：只对数学博士生开放，选课要发邮件申请
根据课程主页，MATH 289 是一门研讨课（seminar），地点在斯坦福 Sloan Hall，共 3 学分。选课需要给教师发邮件申请许可，且明确只对在读数学博士生开放，本科生和硕士生不能修读。课程可以重复修读计学分。
课程的实际运作方式也已经铺开：所有通知和讨论都在课程 Slack 里进行，还配了课程的 GitHub 组织。课程政策页显示，考勤是强制的，期末考核是一个项目——期中交提案，期末做演示。
政策页上有一条值得单独拿出来说的规定：这门课明确鼓励学生使用生成式 AI，要求学生"把生成式 AI 工具当作合作者"；但把一切都外包给 AI、自己没有实际参与，属于违反斯坦福荣誉准则（Honor Code）。也就是说，课程划的线很清楚——用 AI 是作业的一部分，全交给 AI 则是作弊。 这条线和开篇阅读里 Etingof 指南的核心主张完全一致，下文会展开。
二、七大主题：一份数学研究者的 AI 工具学习目录
课程大纲页目前还是暂定版，会随学期推进更新。已公布的七个主题如下。
2.1 编程基础
第二周开课，内容很细：终端、shell、IDE 和远程服务器的使用；Python 与 pip/uv 虚拟环境管理；NumPy 和 PyTorch；Git/GitHub；如何用编程智能体写代码；安全与权限设置；Hugging Face Transformers 库；Weights & Biases 实验追踪（在 Modal 上跑）；沙箱与配置。
这个单元配了不少现成材料：一份编程基础讲义 PDF，一份给 Windows 用户的 WSL 指南，刘抒睿写的终端与 Overleaf 使用指南（含用 git 和 Codex CLI 操作 Overleaf），以及 MIT 著名的计算机工具课 The Missing Semester of Your CS Education 作为外部参考。对没有任何编程背景的数学博士生来说，这个单元相当于先把"环境搭建"这道劝退门槛给铲掉。
2.2 深度学习
神经网络与优化器，配了 Chodosh 写的机器学习基础 Colab 笔记本和 Fred 写的深度学习基础笔记本。
2.3 大语言模型架构
分词器（Tokenizer）、嵌入（Embedding）、注意力与 MLP 层、混合专家模型（MoE）、解码与采样。刘抒睿准备了两份 Colab 笔记本：LLM 架构一和 LLM 架构二。
2.4 思维链推理与 o1/R1 论文思路
围绕 OpenAI o1 和 DeepSeek-R1 相关论文的思路展开，介绍强化学习。这个单元的价值在于把"推理模型为什么能想"这件事讲清楚。
2.5 智能体
提示词工程与上下文工程、智能体工程（agentic engineering）、编程智能体，以及两个目前很具体的子题：Skills（技能）和 Agentic Memory（智能体记忆）。
2.6 形式化与 Lean 基础
Lean 速成，加上对 Lean 内核（kernel）的讲解。Lean 是近年数学形式化运动的主力证明助手，AI 证明系统产出的结果最终要靠 Lean 的内核来验证，这也是这门课把形式化放进大纲的原因。
2.7 实际计算问题
GPU 显存与 FLOPs 算力、成本估算（API 花费、GPU 成本、如何估算一个具体任务要花多少钱），以及 Roofline 性能模型。把"算一笔账"列进数学系的课程大纲，说明授课者认为算力成本意识已经是做 AI 相关数学研究的基本功。
三、开篇阅读一：Thurston 三十年前写下的问题，今天被 AI 重新点燃
课程的第一篇阅读是 William P. Thurston 的《On Proof and Progress in Mathematics》（论数学中的证明与进步），1994 年发表在《美国数学会通报》上。Thurston 是 1982 年菲尔兹奖得主，三维流形研究的开创者，2012 年去世。
这篇文章写作的起因是 Jaffe 和 Quinn 的一篇论文提议把数学中"严谨的结果"和"推测性的工作"严格分开，Thurston 不同意这个框架，于是撰文回应。他的核心论点是：数学的目标不在于按照"定义—定理—证明"的流水线生产定理，而在于推进人类的理解。 一个数学家的贡献大小，要看他的工作在多大程度上帮助别人理解和思考数学。他举了自己的例子：他证明了一个重要定理，证明做得太完整，同行觉得这个领域已经做完了，去学其中想法的人反而变少，整个领域冷清了下来。证明本该是把理解从一个头脑搬运到更多头脑里的载体，一个什么都没搬运的证明只完成了部分工作。
这篇文章在 2026 年重新被大量引用，原因很直接：当 AI 系统可以批量产出机器验证通过、却没有人能读的证明时，"数学到底是为了什么"这个问题又变得紧迫。 课程把它放在第一周，等于先给学生一个讨论框架，再去学工具。
四、开篇阅读二：Etingof 写给年轻数学家的 AI 使用手册
第二篇阅读是 Pavel Etingof 的《Use of AI in mathematical research: A guide for young mathematicians》，2026 年 5 月发布。Etingof 是 MIT 数学系教授，表示论领域的知名学者。这篇指南面向刚入门的数学研究者，从选模型、写提示词到隐私和致谢，写得很具体，里面还配了几幅 AI 生成的漫画。
4.1 一条主原则：你必须跟上 AI 跟你讨论的所有数学
Etingof 开篇立了一条原则：对你与 AI 讨论的任何数学内容，你都要保持同步理解（keep abreast）。 落到操作层面就是：论文里用到 AI 的输出，必须逐细节检查和弄懂，不留死角，再用自己的话重写，不能直接复制粘贴；写完的东西，你必须能当场给别人讲清楚。
理由有两条：
- 第一，AI 会一本正经地产出错误内容——它能解难题，也会基于"所有奇数都是素数"这类荒唐而隐蔽的假设给出错误论证，而署名担责的是你；
- 第二，做数学的目的是你自己学会并享受它，把思考和理解都交给 AI，等于放弃了这件事本身。
4.2 具体操作建议：从选模型到迭代
指南给了不少可直接照做的建议：严肃的数学问题要用带推理模式的强模型，要求给出可分步检查的详细解答；最难的问题可以上 Pro 模式，但 Pro 查询贵，提示词要先写好，可以先用普通模式让 AI 复述一遍你的问题确认理解。在提示词开头交代自己的身份和背景（比如"我是研究 X 方向的数学研究生"、读过哪些书和课程）会明显改善回答质量；加一句"非常仔细地检查你的答案/证明"也有用，因为 AI 天生倾向于偷懒省资源。 难题一问一答通常不够，要读输出、指出错误、要求澄清，迭代几轮才有可用结果。
学习方面，可以用 AI 找资料、解释看不懂的证明、出练习题，但用 AI 做导师布置的作业是馊主意——Etingof 的比喻是：想跑马拉松的人，训练时骑摩托车。
4.3 研究环节：让 AI 出题、造数据、找反例，但证明要自己查
研究部分分场景给了用法：把项目描述、相关论文和已有草稿喂给强模型，让它提一批研究问题，再由导师或专家筛掉不靠谱的；让 AI 参与头脑风暴，评估你自己的想法哪个更有希望；用前沿模型生成数据和例子来建立直觉、检验猜想——这类工作过去可能本身就是一个研究项目。
证明和证伪是最需要小心的场景。 Etingof 的判断是：AI 擅长总结已有材料和模仿成熟论证，产出真正原创的数学则容易出幻觉。他给了一个实用的过滤流程：拿到 AI 给的证明先别自己啃，把它喂给另一个（或同一个）模型说"我持怀疑态度，你检查一下"，让两个模型来回迭代，直到一方承认证不出来或双方达成一致，你再自己上手验证—— 但他也提醒，几个模型意见一致并不是正确性的有力证据，因为模型可能共享训练数据和错误风格。 他还专门警告：AI 会编造不存在的参考文献、张冠李戴，或者因为读不到付费墙后的全文而只凭摘要猜内容，所有 AI 给的引用都要逐条回原文核实。
4.4 形式化验证与协作的分寸
指南提到，现在的前沿模型已经能让从没用过 Lean 的人写出可以放进在线验证器跑的证明脚本，配合 skills 文件和 lean-lsp-mcp 这类接口还能做更复杂的任务，第三方自动形式化工具有 AlphaProof、Aristotle、AxiomProver、Gauss、Gödel-Prover、Kimina-Prover 等。一个必要的提醒是：你得确认模型形式化出来的命题确实是你想证的那个命题，这需要对形式系统有一定理解——只是比亲手写证明要求的少得多。
关于人与 AI 的分工，Etingof 用的是"协作"对"外包"（collaboration vs. relegation）这组词：把 AI 当成一个知识面广但不总是可靠的数字合作者，和它一起想问题；把过程整个外包出去，就失去了发展直觉的机会，对刚起步的研究者尤其如此。 他最后给了个比喻：发现新数学是这行里最有乐趣的部分，把它外包给聊天机器人，就像去高级餐厅把菜扔进咀嚼机再咽下那坨糊。
4.5 写作、致谢与抄袭风险
写作阶段可以用 AI 做 LaTeX、画图和校对——上传文本让它指出错字、符号不一致和语言问题，一次读十页左右效果更好；但要明确让它只给修改意见，别替你把全文重写。直接复制 AI 的大段输出进论文还有一个隐蔽风险：AI 可能无声无息地搬用了别人的工作而不给出处，你不知情地贴出去，依然算你的抄袭。
指南结尾附了一份八大类、几十条的负责任使用清单，最后一个测试问题是：如果把 AI 的聊天记录删掉，你还能不能理解、复现、并愿意为论文或报告里的所有内容负全责？
五、这门课透露的信号
开课的是纯数学方向的副教授，拿的是数学新视野奖，研究极小曲面和正数量曲率流形；听课的限定为数学博士生；大纲里一半内容是 AI 工程实践（编程智能体、Skills、记忆、成本估算），一半搭在数学的根基问题上（证明的本质、形式化验证）；开篇阅读一篇来自 1994 年，一篇来自 2026 年 5 月。
这个组合的读法是：斯坦福数学系不只是把 AI 当成一个选修的时髦话题，关键在把 AI 当作数学博士生需要系统掌握的研究基础设施来开课——从装 Python 环境教起，一直教到怎么让 AI 干活、怎么给 AI 产出的证明把关、怎么估算算力开销。同时通过 Thurston 和 Etingof 两篇文章把态度也一并教了：工具要用透，但理解和责任不能交出去。
课程网站上的讲义和四个 Colab 笔记本都已经公开，大纲注明会随学期持续更新。对不在斯坦福的读者，这份大纲加上两篇开篇阅读，本身就可以当作一份自学的路线图用。如果你对 AI 在数学研究中的应用有更多想法，也欢迎到云栈社区和同好一起交流讨论。
参考资料
- 课程主页: https://web.stanford.edu/class/math289/
- 课程政策页: https://web.stanford.edu/class/math289/policies/
- 课程大纲页: https://web.stanford.edu/class/math289/schedule/
- 编程基础讲义 PDF: https://web.stanford.edu/class/math289/agenda2.pdf
- WSL 指南: https://web.stanford.edu/class/math289/wsl_guide.pdf
- 终端与 Overleaf 使用指南: https://srliu.com/blog/terminal-guide/
- The Missing Semester of Your CS Education: https://missing.csail.mit.edu/
- On Proof and Progress in Mathematics: https://arxiv.org/abs/math/9404236
- Use of AI in mathematical research: A guide for young mathematicians: https://math.mit.edu/~etingof/aiuse.pdf
发表于 10 小时前
|
查看: 3|
回复: 0
