薛定谔方程、海森堡方程与费曼路径积分：量子力学三种等价形式

我大学学量子力学时，用的教材是周世勋编写的。这本教材口碑还算不错，至少比常被批评的曾谨言版《量子力学》要好不少。

但当年我拿到书后粗略翻过，再到学完课程、通过考试，始终觉得量子力学在脑子里没有形成一个清晰的框架。

这本教材从几个物理实验讲起，引入量子化的概念，重点介绍薛定谔波动方程，以及这个方程在若干情况下的应用。附录里虽然简略提到了量子力学史和量子场论，也只是一带而过。

后来我才慢慢知道，原来有薛定谔最初提出的波动方程，有海森堡最早提出的矩阵力学方程，而在量子力学基本假设里又出现一个薛定谔方程；除此之外，费曼还提出了路径积分。它是与前两种动力学形式等价的第三种形式。

更让我困惑的是：薛定谔最初提出的波动方程是非相对论性的，只适用于低速、低能情况下的量子系统；海森堡矩阵力学最初的形式也是如此。但在公理化的量子力学基本原理中，作为系统演化方程的薛定谔方程，据说又适用于所有系统，无论是相对论性还是非相对论性，无论单粒子问题还是推广到量子场的情形。

对喜欢追根究底的人来说，这种时而特殊、时而普遍的说法很难受，当时也找不到更好的理解方式。

后来我读了狄拉克的《量子力学原理》和樱井的《高等量子力学》，才逐渐把这些问题理清楚。

量子力学公理体系中出现的薛定谔方程，以及对应的海森堡方程，是普遍形式的动力学方程。费曼的路径积分也有对应的普遍形式。这些方程彼此等价、可以相互推导。它们既能用于非相对论性系统，也能用于相对论性系统；既能处理单粒子、多粒子、粒子数不变的量子力学问题，也能处理粒子数可变的量子场论问题。

关键就在于拉格朗日量的选择。如果拉格朗日量是相对论性的，这些方程就能用于相对论情形；反过来，如果拉格朗日量是非相对论性的，它们就只适用于非相对论的特殊情况。所以普遍形式的量子力学动力学演化方程本身是普适的，具体适用范围取决于哈密顿量或拉格朗日量的选择。

这样也就理解了教科书上那句话：薛定谔方程在量子力学中的地位，与牛顿方程在力学中的地位相当，是最基本的动力学方程。

那么问题来了：最初薛定谔和海森堡提出的方程，为什么只是在非相对论近似下才成立？

原因在于，他们当年给出的方程使用了非相对论性的哈密顿量，因此自然不能用于相对论性、高能系统。

继续追问：除了哈密顿量选择上的局限，他们最初提出的方程是否已经是普遍形式的量子力学动力学方程了？

并不是。

这里还要引入表象的概念。普遍方程有对应的特殊实现形式，这些特殊形式就是在不同表象下的具体表达。最初薛定谔提出的波动方程，可以理解为普遍薛定谔方程在坐标表象下的形式；海森堡最初提出的矩阵力学，则是普遍矩阵力学在动量表象下的特殊形式。普遍形式的动力学方程可以在各种表象中实现，比如坐标表象、动量表象，以及量子场论中的福克表象等。

总结起来，在量子力学基本原理中，动力学演化方程是一条基本假设。这条假设可以采用薛定谔方程的形式，也可以采用等价的海森堡矩阵力学或费曼路径积分形式。

这些普遍形式的动力学方程，要通过具体系统的拉格朗日量，才能得到描述该系统的时间演化方程。如果拉格朗日量是非相对论性的，普遍方程就具体化为非相对论量子力学方程；如果拉格朗日量是相对论性的，普遍方程依然适用。进一步到量子场论，甚至超弦理论、圈量子引力，这些方程仍然适用。从这个意义上说，量子力学的普遍方程跟牛顿力学体系中的牛顿方程地位相同。

还有一层含义：这些普遍方程在实际应用中，通常要和某个具体表象配合。例如周世勋教材里的薛定谔波动方程，是坐标表象下的方程；海森堡最初提出的矩阵力学，是动量表象下的矩阵形式。由于他们两人最初引入的哈密顿量或拉格朗日量都是非相对论性的，所以这些理论只适用于非相对论系统。

最后再提一下三种等价形式：薛定谔方程在低能、非相对论情形中比较适用；矩阵力学在量子场论中有一定适用性；而路径积分在非阿贝尔规范场引入量子场论之后，逐渐成为量子场论里的主要工具。

回头看，大学里的量子力学教材多半像周世勋版一样，以坐标表象下的薛定谔方程为主线，重点介绍方程含义和应用。至于量子力学的整体框架、各个部分如何搭配，往往讲得云里雾里。如果学生想借教材通观量子力学全貌，多半会感到失望。