李群与李代数：机器人位姿估计与优化的数学基础

在机器人学中，对刚体位姿（位置和姿态）进行精确的数学描述与高效计算至关重要。我们常听到的“旋量”、“四元数”、“李群”、“李代数”等概念，正是为解决机器人运动学、动力学以及SLAM（即时定位与地图构建）中的实际工程问题（如位姿优化、传感器融合）而发展出的强大数学工具。理解它们有助于构建坚实的知识体系，进行更深层次的算法设计与应用。

一、问题缘起：为何需要李群与李代数？

1.1 刚体位姿的数学描述

机器人可视为由一系列连杆（刚体）构成的系统。研究这些刚体在空间中的关系，是机器人技术的核心。欧几里得空间（欧氏空间）是描述这种关系的常用框架，其基本特性是平移和旋转。

在欧氏空间中，通常用笛卡尔坐标系及其之间的关系来描述位姿。坐标系间的关系分为平移和旋转两种基本变换。

图1. 欧氏空间中的平移变换(A)与旋转变换(B)

用数学公式表达：

1. 平移变换：可用一个3×1的平移向量表示。
   
   
2. 旋转变换：传统上需要一个3×3的旋转矩阵表示。
   
   

平移仅需3个参数，而旋转矩阵的9个参数存在冗余和约束。为了简化，发展出了欧拉角、四元数等描述方法。

将平移和旋转组合起来描述一个刚体变换，最直观的形式是：

为了统一成单一的矩阵乘法形式（便于后续计算），引入了齐次坐标。将三维点增加一维，通常补为1。

• 平移的齐次形式：
  
• 旋转的齐次形式：
  

那么，先旋转后平移的复合变换（左乘顺序）为：

由此，我们定义位姿矩阵（变换矩阵）为：

从而，刚体变换方程可简洁地写为：

1.2 矩阵求导的困境

在机器人状态估计（如移动机器人定位、机械臂手眼标定）中，常需要通过观测数据求解最优位姿。例如，设有固定在刚体上的N个点（真实值），及其在传感器中的观测值，目标是寻找最优变换矩阵 ，最小化重投影误差：

这就需要对目标函数 关于变换矩阵 求导。然而，旋转矩阵必须满足正交性 和行列式为1 的约束。关键问题在于：两个旋转矩阵相加的结果，不再是一个旋转矩阵。即，所有旋转矩阵构成的集合对加法运算不封闭。

图2. 旋转矩阵集合可视作一个流形（如球面），流形上的点（如R）对加法不封闭

由于无法在流形上直接定义导数，传统的微积分工具失效。这正是李群与李代数要解决的核心问题：为这类具有约束的“弯曲”空间（流形）提供一套微积分工具。

二、李群与李代数基础

2.1 群的数学定义

群是描述对称性的代数结构。一个群 由一个集合 和一种二元运算 构成，满足以下四条公理（对任意 ）：

1. 封闭性：
2. 结合律：
3. 单位元： 存在唯一单位元 ，使得
4. 逆元： 对任意 ，存在唯一逆元 ，使得

旋转变换显然满足这些性质，因此旋转矩阵集合在矩阵乘法下构成一个群。

2.2 李群与李代数的直观理解

李群：是一个光滑的流形，同时其元素也构成一个群。“光滑”意味着可以在其上做微积分。例如，所有旋转矩阵构成的特殊正交群 SO(3) 就是一个李群。

李代数：对应李群在单位元处的切空间。这是一个向量空间，对加法封闭，非常适合进行微积分运算。

图3. 流形{M}在某点X处的切空间T_X{M}是一个向量空间

图4. 旋转矩阵李群{M}及其在单位元ε处的切空间（李代数）

核心关系：李群（弯曲空间）和李代数（平直切空间）之间通过指数映射和对数映射相互转换。这类似于复变函数中，复数乘法（李群运算）与复数加法（李代数运算）通过指数函数联系起来。

单位圆例子 (S¹)

单位复数集合 在乘法下构成李群，满足 。其李代数是虚数轴 。

图5. 单位圆S¹李群与其李代数iR的关系

设初始点 ，经旋转 得到 ，即 。利用欧拉公式 ，有：

并且，

结论：李群上的乘法 对应李代数上的加法 。指数映射将对数空间的向量“卷曲”到群上。

单位四元数球面例子 (S³)

单位四元数集合 也构成李群，其形式为 ，满足 。其李代数是由纯虚四元数构成的三维空间，与 同构。

图6. 单位四元数球面S³李群与其李代数（切平面）的关系

对于纯虚四元数表示的向量 ，经单位四元数 的共轭旋转后得到 。可以推导出类似关系：

2.3 欧拉公式的几何意义

指数映射的核心是欧拉公式：

等式右边描述了复平面上单位圆的圆周运动。

图7. e^{iθ} 在复平面上的几何表示：模长为1，幅角为θ

我们可以从极限的角度直观理解 。已知 ，则 。复数相乘意味着旋转和伸缩。当 n 取不同值时， 的极限过程如下：

当 θ=1， n=3 时：


图8. n=3时的逐步旋转

当 θ=1， n=10 时：


图9. n=10时的逐步旋转

当 θ=1， n=50 时：


图10. n=50时，结果已非常接近圆周上1弧度处

当 ， 精确落在单位圆上1弧度的位置。这生动展示了指数映射如何将直线上的“距离”映射为圆上的“角度”。

三、李群在机器人学中的应用

3.1 三维旋转群 SO(3) 与其李代数 so(3)

特殊正交群 SO(3) 是所有三维旋转矩阵构成的李群：

其对应的李代数 so(3) 是一个由三维向量 组成的空间，每个向量对应一个反对称矩阵：

其中，反对称算子 定义为：

。

指数映射（李代数 -> 李群）：
对旋转矩阵 的正交约束 两边对时间求导，可导出关系：。求解此微分方程得到指数映射关系：

更一般地，写作：

为了计算这个指数映射，将李代数向量表示为旋转轴和角度：，其中 是单位向量，θ 是旋转角。利用反对称矩阵的性质（如 ）进行泰勒展开化简，得到著名的罗德里格斯公式：

即：

这给出了从旋转向量（旋量）到旋转矩阵的直接计算方法。

对数映射（李群 -> 李代数）：
反之，从旋转矩阵 R 求解旋转轴 a 和角度 θ。对罗德里格斯公式两边求迹：

可得：

旋转轴 a 是旋转矩阵 R 特征值为 1 对应的特征向量，即求解 。

图11. SO(3)李群与so(3)李代数的转换关系示意

3.2 三维欧氏变换群 SE(3) 与其李代数 se(3)

特殊欧氏群 SE(3) 描述三维空间的刚体运动（旋转+平移）：

其对应的李代数 se(3) 位于 空间中：

其中，，。这里的 就是一个运动旋量。

类似 SO(3) 的推导，通过对 求导，可定义 ，并得到微分方程 的解：

指数映射计算：
对 进行指数展开并利用其幂的规律性，可推导出：

其中， 就是 SO(3) 的指数映射结果（罗德里格斯公式）。而矩阵 J 为：

对数映射：从 SE(3) 的变换矩阵 T 中，可以提取出旋转部分 R，按 SO(3) 的方法得到 （进而得到 a 和 θ）。平移部分 d 满足 ，因此李代数的平移部分可由 求得。

图12. 机器人学中SO(3)/SE(3)与so(3)/se(3)的映射关系总结（图片来源：《视觉SLAM十四讲》）

3.3 指数映射的重要性质

指数映射 具有以下关键性质，这些性质在优化和插值中非常有用：

1. （可加性）
2. 
3. （逆元对应）
4. （伴随性质）

总结

李群与李代数为机器人学（以及计算机视觉、SLAM等领域）中描述带约束的旋转与运动提供了完美的数学框架。李群（如SO(3), SE(3)） 作为真实的运动空间，具有良好的几何意义但不利于直接进行微积分；李代数（如so(3), se(3)） 作为其切空间，是向量空间，便于进行导数、优化等数值计算。二者通过指数映射与对数映射相互转换，使得我们能够将复杂的流形上的优化问题，转化为在简单的向量空间中求解，从而有效解决了机器人位姿估计中的优化问题。掌握这一工具，是深入理解现代机器人感知与状态估计算法的关键一步。