期望效用 vs. 期望值的效用：概念辨析、风险溢价与决策稳定性

在人类理性分析中，当一个人面对两个方案：一个确定获得100元，另一个有50%的概率获得220元、50%的概率获得0元，究竟应如何评估？如果仅以数学期望计算，后者的期望值为110元，高于前者；然而大量实验结果表明，许多人仍然偏向选择确定的100元。数学期望高却未被选择，这种现象提示我们：价值的评估并非对客观数值的线性处理，而涉及心理函数、风险态度与主观评估结构。

这一分歧构成了“期望值的效用”（utility of expected value）与“期望效用”（expected utility）之间的理论差异。前者先对收益求数学期望，再对该期望施加效用函数；后者则先对各结果施加效用函数，再对效用进行概率加权。两种处理顺序的不同，意味着对风险结构的不同理解。它不仅涉及概率与函数的运算顺序，更触及理性选择理论的基础框架。

1 期望效用与期望值的效用：风险、理性与价值函数的基本框架

在不确定条件下决策，无论是金融投资、企业战略还是日常选择，都无法回避风险权衡。上文提到的选择困境，仅仅是期望值计算会得出方案B（期望110元）更优的结论，但实际却有很多人选择确定的100元。这揭示了一个关键问题：个体决策并非简单地比较数字，而是经过内在心理效用函数修正后的主观判断。风险的存在本身就会影响决策者对收益的感知。

因此，经济学与决策理论区分了“期望值的效用”与“期望效用”两种分析框架。简单来说：

• 期望值的效用是先计算收益的数学期望，再对这个期望值应用效用函数。
• 期望效用则是先对每一个可能的结果应用效用函数，再对这些效用值进行概率加权平均。

两种处理顺序的差异，虽然表面上只是运算先后问题，但背后反映了对风险本质的不同理解。期望值的效用框架隐含假设“决策者只关心平均收益”，而忽略风险分布的具体形态。期望效用框架则认为，不同结果的概率和决策者对其的主观感受共同塑造了最终价值，即风险本身就会影响决策。

从历史看，18世纪的伯努利（Bernoulli）为了解决著名的圣彼得堡悖论，就引入了期望效用的思想。如果仅按期望值决策，圣彼得堡赌局的参与价格应为无限高，这显然不符合现实。伯努利提出用对数效用函数转化收益后再求期望，得到了一个有限的参与价格，从而解释了人的有限支付意愿。若采用期望值的效用，则悖论依旧无法解决。

在理性决策模型中，个体的选择通常假设由一个效用函数 U(W) 决定，它将客观财富或收益 W 映射为主观价值。效用函数通常满足一些基本性质：

• 单调递增：U'(W) > 0，收益增加，主观价值也增加。
• 风险厌恶：U''(W) < 0（凹函数），边际效用递减，表现为对波动性敏感。
• 风险偏好：U''(W) > 0（凸函数），边际效用递增，对波动性有吸引力。

常见的效用函数形式包括：

• 幂函数形式：U(W) = (W^γ) / γ （γ < 1 且 ≠ 0）
• 对数形式：U(W) = ln(W)
• 平方根形式：U(W) = √W

对于风险厌恶者（凹函数），期望效用通常低于期望值的效用，这表明个体愿意为了规避风险而牺牲一部分可能的收益。对于风险偏好者（凸函数）则相反。

数学上，这种差异可以用Jensen不等式精确描述。若 U 为凹函数（风险厌恶），则：

E[U(W)] ≤ U(E[W])

这意味着期望值的效用 U(E[W]) 通常高估了个体的实际主观价值 E[U(W)]。反之，若 U 为凸函数（风险偏好），则：

E[U(W)] ≥ U(E[W])

只有当 U 为线性函数（风险中性）时，两者才相等：E[U(W)] = U(E[W])。因此，期望值的效用仅在线性假设下（即决策者风险中性）才是合理的简化。

2 两种结构的形式定义

2.1 期望值的效用（Utility of Expected Value， U(E[W])）

期望值的效用定义为：

U(E[W]) = U( Σ (p_i * w_i) )

其中 U 是个体的效用函数，E[W] 是随机收益 W 的数学期望：

E[W] = Σ (p_i * w_i)

这里 w_i 是可能的收益值，p_i 是对应的概率。

其计算流程是：

1. 先对收益求数学期望：E[W] = 0.5*0 + 0.5*220 = 110
2. 再对期望收益施加效用函数：U(110)

这种方法隐含的假设是：个体只关心平均收益，而对风险的分布形态（如方差）不敏感。风险本身在这个框架下不产生独立的价值影响。

特点与限制

• 简单直观：直接将平均收益映射到主观价值。
• 忽略风险结构：期望相同但分布不同的随机变量（如一个波动大，一个波动小）会被赋予相同效用。
• 依赖线性效用：仅当 U 为线性函数时，它才与期望效用等价。

2.2 期望效用（Expected Utility， E[U(W)]）

期望效用的定义为：

E[U(W)] = Σ (p_i * U(w_i))

其计算流程是：

1. 先对每个可能收益计算效用：U(0)， U(220)
2. 再根据概率加权平均：0.5*U(0) + 0.5*U(220)

采用对数效用 U(W) = ln(W)（假设财富为正）的例子：

• 对 0 的效用：ln(0) 未定义（通常需假设一个极小正数或使用其他函数处理零值，此处为简化论述，我们关注非零情形下的逻辑。实践中常用 U(W) = ln(1+W) 等形式）
• 对 220 的效用：ln(220) ≈ 5.394
• 加权平均（假设零效用为0，或其他处理）：结果将小于 ln(100) ≈ 4.605。
  这符合实验中多数人倾向选择确定收益而规避风险的行为。

核心特征

• 风险敏感：概率和效用直接结合，风险分布直接影响最终值。
• 理论基础坚实：符合冯·诺依曼-摩根斯坦（von Neumann–Morgenstern）理性选择公理体系。
• 适用广泛：能有效解释风险厌恶、保险购买、投资组合选择等现实问题。

2.3 两者的比较

特征	期望值的效用 U(E[W])	期望效用 E[U(W)]
运算顺序	先期望，后效用	先效用，后期望
对风险敏感性	忽略风险	风险直接影响效用
线性效用下的关系	与期望效用等价	与期望值效用等价
行为预测	高风险情境易偏离实际选择	更贴近实验结果
数学公理支持	无完整公理体系	有完整的 vNM 公理支持

数学上，两者差异的核心在于 Jensen 不等式：

• 对凹函数 U（风险厌恶）：E[U(W)] ≤ U(E[W])
• 对凸函数 U（风险偏好）：E[U(W)] ≥ U(E[W])

差值 U(E[W]) - E[U(W)] 在风险厌恶时为正，这解释了为何期望值效用会高估风险情境下的主观价值。

3 运算顺序差异的数学含义

3.1 函数与期望的交换问题

关键在于 U(E[W]) 与 E[U(W)] 是否相等。根据 Jensen 不等式，两者通常不相等。
只有在效用函数 U 为线性函数 U(W) = aW + b 时，期望算子与线性函数才能交换顺序，两者才等价。
这意味着：只有风险中性的个体才不区分这两种运算方式。

3.2 风险溢价的描述

风险溢价（Risk Premium, RP）是期望效用框架下的核心概念。它定义为个体为了规避风险，愿意从确定性等价财富（CE）中放弃的收益部分。

设确定性等价财富 CE 满足：

U(CE) = E[U(W)]

则风险溢价 RP 为：

RP = E[W] - CE

RP 恒为正（对风险厌恶者），它量化了风险的成本。
这种概念仅在期望效用框架中具有明确的经济含义。 在期望值的效用框架下，由于 U(CE) = U(E[W])，会导致 CE = E[W]，风险溢价消失，这显然与厌恶风险、愿意付费买保险等现实行为不符。

4 行为含义与经典例证

4.1 伯努利的圣彼得堡悖论

在圣彼得堡赌局中，期望收益为无穷大。若按期望值决策，人们应支付无限价格参与，这显然荒谬。伯努利提出用对数效用函数 U(W)=ln(W) 计算期望效用：

E[U(W)] = Σ ( (1/2^n) * ln(2^(n-1)) )

该级数收敛到一个有限值。
此处若采用期望值的效用 U(E[W])，因为 E[W] 无穷大，U(∞) 也无意义，悖论无法解决。 这凸显了期望效用理论在解释现实决策上的必要性。

4.2 风险溢价现象

考虑最初的选择：
A：确定100元
B：50% 得220元，50% 得0元

假设效用函数为 U(W)=√W（凹函数，风险厌恶）：

• U(100) = 10
• E[U(W)] = 0.5*√0 + 0.5*√220 ≈ 0.5*0 + 0.5*14.832 = 7.416
• 因为 10 > 7.416，决策者选择A。

但若用期望值的效用：

• E[W] = 110
• U(110) = √110 ≈ 10.488
• 因为 10.488 > 10，决策被预测为选择B。

两种方式给出了相反的判断，实验证据支持期望效用的预测结果。

5 公理基础：vNM 期望效用理论

冯·诺依曼与摩根斯坦（vNM）提出了一套理性选择公理体系，包括完备性、传递性、连续性和独立性公理。在这些公理前提下，可以证明存在一个效用函数 U，使得个体的偏好可以由期望效用 E[U(W)] 来表征。

该表示定理并未导出 U(E[W]) 的形式。 独立性公理的结构天然与“先效用，后期望”的线性概率加权方式一致，这为期望效用理论提供了坚实的逻辑基础，而非期望值的效用。

6 几何解释

6.1 效用曲线与弦线

对于一个凹的效用函数，连接曲线上任意两点的弦（代表这两点收益的加权平均所对应的期望值效用）位于曲线下方。这正是 Jensen 不等式的几何表达：E[U(W)]（曲线上的加权平均点）对应的纵坐标，低于 U(E[W])（弦上的点）对应的纵坐标。这直观展示了随机波动如何降低风险厌恶者的主观价值。

6.2 等效确定值

如前所述，确定性等价财富 CE 是使得 U(CE) = E[U(W)] 的值。在几何图上，CE 对应的点与 E[U(W)] 等高，而 E[W] 对应的点是 U(E[W])。两者的水平距离 E[W] - CE 就是风险溢价 RP。

7 在金融中的应用

7.1 均值-方差模型

马科维茨（Markowitz）的均值-方差模型是现代投资组合理论的基础。其目标函数 max E[W] - (λ/2)Var(W) 实际上可以通过对期望效用进行二阶泰勒展开近似得到（当风险较小时）。因此，均值-方差框架可以视作期望效用理论在特定条件下的近似。

7.2 Arrow–Pratt 风险厌恶系数

阿罗（Arrow）和普拉特（Pratt）定义了绝对风险厌恶系数 A(W) = -U''(W)/U'(W) 和相对风险厌恶系数。这些直接基于期望效用结构的指标，为量化不同个体的风险态度以及比较不同效用函数的风险厌恶程度提供了标准工具。

8 行为经济学的批评与拓展

8.1 Allais 悖论

阿莱（Allais）通过实验发现，人们的决策有时会违反 vNM 理论中的独立性公理。这一悖论催生了行为经济学的发展，表明期望效用理论在描述所有人类行为时存在局限。

8.2 前景理论

卡尼曼（Kahneman）和特沃斯基（Tversky）提出的前景理论是行为经济学的基石。它修改了期望效用的形式，引入了价值函数（替代效用函数，在损失区为凸，在收益区为凹）和概率权重函数（非线性扭曲客观概率）。
*关键点在于，前景理论依然采用“先对结果进行价值变换，再进行概率加权”的结构，即 `Σ (π(p_i) v(Δw_i))，而非“先对收益求期望再变换”的U(E[W])` 结构。** 这从侧面印证了“先评估后整合”的决策结构更具心理现实性。

9 数学归纳总结

假设效用函数二阶可微，利用泰勒展开可以对期望效用进行近似：

E[U(W)] ≈ U(E[W]) + (1/2) * U''(E[W]) * Var(W)

因此，期望值与期望效用的差值近似为：

U(E[W]) - E[U(W)] ≈ -(1/2) * U''(E[W]) * Var(W)

若 U''(W) < 0（风险厌恶），则差值为正，且与收益的方差 Var(W) 成正比。这精确地描述了风险溢价如何由效用函数的二阶导数（曲率）来刻画。

10 结论

• 期望值的效用 U(E[W])：仅在效用函数为线性（风险中性）时合理，它忽略了风险结构对决策的影响。
• 期望效用 E[U(W)]：通过“先效用，后期望”的运算顺序，将风险纳入价值评估的核心，能够描述风险厌恶、偏好等复杂态度。其与 U(E[W]) 的差异（风险溢价）由效用函数的曲率决定。

两者的差别绝不仅仅是数学操作顺序问题，而是关于价值评估结构的根本分歧。当个体面对不确定性时，更符合心理现实的决策过程是：先对每一种可能的结果进行主观价值评估，再进行概率整合，而非仅仅对最终的平均值进行评价。这也是为何现代微观经济理论、资产定价模型和博弈论分析普遍建立在期望效用的框架之上。对于希望深入理解理性决策底层逻辑的开发者或研究者，掌握这一区分是构建更复杂经济或决策模型的重要基石。更多关于逻辑、优化与数学基础的知识，欢迎在云栈社区交流探讨。