行列式是线性代数中的核心概念之一，理解其定义与计算方法是学习后续内容的关键。本文将从三阶行列式出发，逐步深入到n阶行列式的通用定义，并讲解其计算方法与特殊形式。
三阶行列式的展开
一个三阶行列式表示为一个3x3的矩阵：
其值可以通过“按行展开”的方式计算：从每一行、每一列中恰好选取一个元素相乘，总计有 3! = 6 种不同的取法。展开后的表达式为：
那么，如何确定每一项前面的正负号呢？其规则可总结为以下几点：
- 行标保持自然顺序（即按第一行、第二行、第三行选取）。
- 选取的三个元素必须来自不同的行和不同的列。
- 列标（即元素所在的列序号）取所有可能的排列。
- 符号由列标排列的逆序数的奇偶性决定：逆序数为偶数时取正号(
+)，为奇数时取负号(-)。
n阶行列式的定义
将三阶行列式的思想推广，即可得到n阶行列式的定义。一个n阶行列式对应一个n×n的矩阵：
其中，元素  的下标i表示行标，j表示列标。
按行展开定义法
n阶行列式最常用的定义方式是按行（或按列）展开，其公式如下：
这个公式的含义是：
- 行标取自然顺序（1, 2, …, n）。
- 列标
(j₁, j₂, …, jₙ) 取1到n的所有n!种排列。
- 从不同的行和列中取出
n个元素 a_{1j₁}a_{2j₂}...a_{njₙ} 相乘，构成一项。
- 该项的符号由列标排列
(j₁, j₂, …, jₙ) 的逆序数 N(j₁j₂…jₙ) 决定，即 (-1)^N。
掌握行列式的计算，对于理解矩阵性质和求解线性方程组至关重要，这也是许多算法与数据结构问题（如计算几何、图形变换）的数学基础。
计算实例分析
为了加深理解，我们来看两个具体的计算例子。
例一：对角矩阵的行列式
计算下列4阶对角矩阵的行列式：
分析与解：
按行展开公式，只有列标排列为(1,2,3,4)时，选取的元素才全部不为零（即主对角线上的元素）。其他任何列标排列都会导致至少有一个因子为0，因此整个项为0。
所以，行列式的值就是 (-1)^(N(1234)) × 1 × 2 × 3 × 4 = 1 × 24 = 24。这验证了对角矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。
例二：特殊稀疏矩阵的行列式
计算下列4阶行列式：
分析与解：
观察矩阵，每行每列恰好有两个非零元素。按第一行展开：
- 若第一行取
a₁₁=1，则后续行只能沿着“对角线”方向取a₂₂=2, a₃₃=3, a₄₄=4，对应列标排列为(1,2,3,4)。
- 若第一行取
a₁₂=2，则后续行只能取a₂₃=3, a₃₄=4, a₄₁=1，对应列标排列为(2,3,4,1)。
其他取法都会导致出现0因子。因此，行列式只有两项：
D = (-1)^(N(1234))×1×2×3×4 + (-1)^(N(2341))×2×3×4×1 = 24 - 24 = 0。
两类特殊行列式
掌握特殊行列式的结论能极大简化计算。
1. 三角行列式
上三角、下三角以及对角行列式的值，均等于其主对角线上所有元素的乘积。
2. 副对角行列式
副对角线（从右上到左下）行列式的值，等于副对角线上元素的乘积，再乘以一个由阶数n决定的符号因子。
其中，符号 (-1)^(n(n-1)/2) 由逆序数 N(n, n-1, …, 2, 1) = n(n-1)/2 决定。 | 
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