嵌入式滤波器设计入门：RC低通滤波与截止频率计算

什么是滤波器？

各种传感器信号多多少少会携带一些噪声信号，通过滤波器能够更好地降低和去除噪声，还原真实有用的信号。

滤波器是一个电路，用来去除或“过滤掉”特定范围的频率分量。换句话说，它把信号的频谱分离成两部分：允许通过的频率分量，以及被阻隔的频率分量。

如果你对频域分析还不太熟悉，可能会疑惑：这些频率分量到底是什么？它们又怎么可能同时存在于一个每个时刻只有一个电压值的信号里？先看一个简短例子。

假设我们有一个由完美的 5 kHz 正弦波组成的音频信号。我们知道时域中的正弦波长什么样，而在频域中，它只会表现为 5 kHz 处的一个频率“尖峰”。现在，假设有一个 500 kHz 振荡器开始工作，把高频噪声引入音频信号。

在示波器上看到的信号仍然只是一串电压序列，每个时刻只有一个值。但因为时域变化现在必须同时体现 5 kHz 正弦波和高频噪声波动，所以信号形状会发生变化。

而在频域中，正弦波和噪声却是同一个信号里同时存在的两个独立频率分量。它们占据信号频域表示的不同区域，因此我们可以通过一个电路，让低频通过、高频被阻挡，从而滤除噪声。正弦波和噪声在频域中的分布示意图如下。

滤波器的类型

滤波器可以按频率响应的一般特征划分为几大类。如果滤波器通过低频、阻止高频，就称为低通滤波器；如果它阻挡低频、通过高频，就是高通滤波器。还有带通滤波器，它只允许相对较窄的频率范围通过；以及带阻滤波器，它只阻挡相对较窄的频率范围。不同类型滤波器的频域表示如下图所示。

还可以根据电路所用元件的类型对滤波器进行分类。无源滤波器使用电阻、电容和电感，这些元件不具备放大能力，因此无源滤波器只能维持或减小输入信号的幅度。有源滤波器则不同，它既能滤波，又可以对信号施加增益，因为它包含晶体管或运算放大器等有源元件，如下图所示。

这种有源低通滤波器基于常见的 Sallen-Key 拓扑结构。相关内容可参考：Sallen-Key 有源滤波器。

RC低通滤波器

要构建一个无源低通滤波器，需要把电阻元件与电抗元件组合起来。换句话说，我们需要一个由电阻器和电容器或电感器组成的电路。从理论上看，电阻—电感（RL）低通拓扑在滤波能力上与电阻—电容（RC）低通拓扑相当。不过在实际应用中，电阻—电容方案更常见，所以本文后续重点讨论 RC低通滤波器 的设计。RC低通滤波器示意图如下。

如图所示，把电阻串联在信号路径中，再把电容与负载并联，就可以得到 RC 低通响应。图中负载只是一个单独元件，但在实际电路中，它可能更复杂，比如模数转换器、放大器，或者用来测量滤波器响应的示波器输入级。

如果我们意识到电阻器和电容器构成了一个随频率变化的分压器，就可以直观理解 RC 低通拓扑的滤波原理。把 RC 低通滤波器重新画成类似分压器的形式，如下图所示。

当输入信号频率较低时，电容器的阻抗相对于电阻器的阻抗较高，因此大部分输入电压落在电容器上，也就是落在与电容并联的负载两端。当输入频率较高时，电容器的阻抗相对于电阻器的阻抗较低，这意味着电阻上会承担更多电压，传输到负载的电压就变少了。于是，低频通过，高频被阻挡。

这种关于 RC 低通特性的定性解释是重要的第一步，但真正需要设计电路时，它还不够用，因为“高频”和“低频”这两个词太过模糊。工程师需要设计出能够通过特定频率、阻止特定频率的电路。例如在前述音频系统中，我们希望保留 5 kHz 信号，同时抑制 500 kHz 信号。这意味着需要这样一个滤波器：它在 5 kHz 到 500 kHz 之间完成从“通过”到“阻挡”的过渡。

RC滤波器截止频率

滤波器不会造成明显衰减的频率范围称为通带，会造成明显衰减的频率范围称为阻带。像 RC 低通滤波器这样的模拟滤波器，总是从通带逐渐过渡到阻带。也就是说，我们无法找出一个唯一频率，让滤波器在此处停止通过信号并开始阻挡信号。但工程师仍需要一种方便、简洁的方式来概括滤波器频率响应，于是就有了“截止频率”这个概念。

查看 RC 滤波器的频率响应图时，会发现“截止频率”这个术语并不完全准确。它并不是把信号频谱“切成两半”，保留一半、丢弃一半。实际情况下，当频率从截止点以下逐渐移动到截止点以上时，衰减是逐渐增大的。

RC 低通滤波器的截止频率，实际上是输入信号幅度下降 3 dB 时对应的频率。之所以选择这个值，是因为幅度下降 3 dB 对应功率下降 50%。因此，截止频率也称为 -3 dB 频率。事实上，这个名称更准确，信息量也更大。带宽指的是滤波器通带的宽度。对低通滤波器来说，带宽就等于 -3 dB 频率，如下图所示。

上图展示了 RC 低通滤波器频率响应的一般特性，带宽等于 -3 dB 频率。

前面提到，RC 滤波器的低通行为来自电阻器与频率无关的阻抗和电容器与频率相关的阻抗之间的相互作用。要确定滤波器频率响应的具体细节，就需要从数学上分析电阻 R 和电容 C 之间的关系。我们还可以调整这些参数，以设计满足精确指标的滤波器。RC 低通滤波器的截止频率 $f_C$ 计算如下：

看一个简单设计实例。电容值的可选范围通常比电阻值更受限制，所以先从一个常见电容值开始，比如 10 nF，然后用公式计算所需电阻值。设计目标是保留 5 kHz 音频波形，同时抑制 500 kHz 噪声波形。先尝试 100 kHz 的截止频率，后文会更仔细地分析该滤波器对这两个频率分量的实际影响。计算如下：

因此，160 Ω 电阻与 10 nF 电容组合，可以为我们提供一个非常接近目标频率响应的滤波器。

滤波器响应可视化

评估滤波器对信号影响最直接的方法，就是观察滤波器频率响应曲线。这类图通常称为波德图，纵轴是幅度，单位为分贝；横轴是频率，通常采用对数刻度。这样一来，1 Hz 到 10 Hz 之间的物理距离，与 10 Hz 到 100 Hz、100 Hz 到 1 kHz 之间的物理距离相同。这种坐标设计让我们能够快速、准确地评估滤波器在很大频率范围内的行为。下图就是一个频率响应图示例。

曲线上的每个点表示：如果输入信号幅度为 1 V，且频率等于横轴上的对应值，输出信号会有多大。例如，当输入频率为 1 MHz 时，假设输入幅度为 1 V，输出幅度约为 0.1 V，因为 -20 dB 对应十倍的衰减。

随着你对滤波器电路的接触越来越多，这种频率响应曲线的整体形状会变得非常熟悉。通带内的曲线几乎完全平坦，随后当输入频率接近截止频率时，下降速度开始加快。最终，衰减变化率，也就是滚降，稳定在 20 dB/decade。也就是说，输入频率每增加十倍，输出信号幅度下降 20 dB。

评估低通滤波器性能

如果我们仔细绘制前面所设计滤波器的频率响应，会看到 5 kHz 处的幅度响应基本为 0 dB，即几乎没有衰减；而 500 kHz 处的幅度响应约为 -14 dB，对应增益约为 0.2。这些结果和前面计算一致。

由于 RC 滤波器总是从通带到阻带逐渐过渡，而且衰减永远不会达到无穷大，所以我们无法设计出“完美”滤波器，也就是既对正弦波毫无影响，又完全消除噪声的滤波器。现实设计必须不断权衡：如果把截止频率向 5 kHz 靠近，噪声衰减会更多，但本要送往扬声器的正弦波也会被衰减得更多；如果把截止频率向 500 kHz 靠近，正弦波频率处的衰减会更小，但噪声频率处的衰减也会变小。

前面重点讨论了滤波器如何改变信号中不同频率分量的幅度。但是除了幅度影响之外，电抗元件还总会引入相移。

低通滤波器相移

相位这个概念，描述的是周期信号在周期内某一特定时刻的取值。因此，当我们说电路引起相移时，意思是它在输入信号和输出信号之间制造了时间偏差：输入和输出信号不再在同一时刻开始和结束各自的周期。相移值，比如 45° 或 90°，表示这种偏差的大小。

电路中的每个电抗元件都会引入 90° 的相移，但这种相移并不是瞬间全部出现的。输出信号的相位和幅度一样，会随着输入频率升高而逐渐变化。RC 低通滤波器中只有一个电抗元件，即电容器，因此电路最终会引入 90° 相移。

与幅度响应一样，观察横轴为对数频率的曲线图，是评估相位响应最直观的方式。下面这些描述概括了一般规律，借助下图可以更清楚地理解细节：

• 相移最初为 0°
• 相移逐渐增加，直到截止频率处达到 45°；在这个区间内，变化率逐渐加快
• 过了截止频率后，相移继续增加，但变化率逐渐减小
• 随着相移逐渐趋近 90°，变化率变得非常小

实线是幅度响应，虚线是相位响应，截止频率为 100 kHz。可以注意到，在截止频率处，相移正好是 45°。

二阶低通滤波器

到目前为止，我们讨论的 RC 低通滤波器都只由一个电阻和一个电容组成，这种结构属于一阶滤波器。

无源滤波器的“阶”由电路中电抗元件，也就是电容或电感的数量决定。高阶滤波器拥有更多电抗元件，会带来更多相移，但同时也能实现更陡峭的滚降。提升滚降速度，正是增加滤波器阶数的主要动力。

给滤波器增加一个电抗元件，例如从一阶升到二阶，或从二阶升到三阶，就可以让最大滚降增加 20 dB/十倍频程。

二阶滤波器通常会围绕由电感和电容组成的谐振电路来构建，这种拓扑称为 RLC（Resistor-Inductor-Capacitor）滤波器。不过，也可以构建二阶 RC 滤波器。如下图所示，我们只需把两个一阶 RC 滤波器级联起来。

虽然这种拓扑确实会产生二阶响应，但它并没有被广泛采用，因为其频率响应通常不如二阶有源滤波器或二阶 RLC 滤波器。

二阶RC滤波器的频率响应

我们可以先按目标截止频率设计一阶滤波器，再把两个相同的一阶滤波器串联起来，从而构成二阶 RC 低通滤波器。这样做确实能让滤波器表现出大致相似的整体频率响应，同时把最大滚降从 20 dB/decade 提升到 40 dB/decade。

但如果更仔细地观察响应，就会发现 -3 dB 频率出现了下降。二阶 RC 滤波器的实际表现并不符合预期，因为两个滤波级并不独立，所以不能简单地把两个滤波器连起来，再把电路分析成“两个相同一阶低通滤波器叠加”。

进一步说，即使我们在两级之间插入缓冲器，让第一级 RC 和第二级 RC 可以作为独立滤波器工作，此时原始截止频率处的衰减也会是 6 dB 而不是 3 dB。这恰恰是因为两级各自独立工作：第一个滤波器在截止频率处产生 3 dB 衰减，第二个滤波器再叠加 3 dB 衰减，如下图所示。

二阶 RC 低通滤波器有一个基本限制：设计人员无法通过调整滤波器的 Q 因子来微调通带到阻带之间的过渡。Q 因子表示频率响应的阻尼程度。如果把两个相同的 RC 低通滤波器级联，整体传递函数虽然对应二阶响应，但 Q 因子始终是 0.5。当 Q=0.5 时，滤波器处于过阻尼边界，会导致频率响应在过渡区域出现“下垂”。二阶有源滤波器和二阶谐振滤波器则没有这个限制，设计人员可以控制 Q 因子，从而微调过渡区域的频率响应。

总结

所有电信号都混合了需要的频率分量和不需要的频率分量。不需要的频率分量通常来自噪声和干扰，某些情况下会直接影响系统性能。

滤波器是对信号频谱不同区域做出不同响应的电路。低通滤波器用于让低频分量通过，同时阻挡高频分量。

低通滤波器的截止频率，表示滤波器从低衰减转向明显衰减的频率区域。

RC 低通滤波器的输出电压，可以通过把电路视为由频率无关电阻和频率相关电抗组成的分压器来计算。

以分贝为纵轴、以对数频率为横轴的幅度曲线图，是分析滤波器理论行为方便而有效的方法。同时，也可以使用相位与对数频率的关系图，来估计滤波器会给输入信号带来多少相移。

二阶滤波器的滚降更陡峭。当所需频率分量与不需要的频率分量之间无法获得较宽的频率间隔时，这种二阶响应会更有用。

要构建二阶 RC 低通滤波器，可以把两个相同的一阶 RC 低通滤波器首尾相连，也就是把前一个的输出接到后一个的输入，但最终整体 -3 dB 频率会比预期更低。