（图源：量子号）
1971 年，数学家罗纳德·格雷厄姆提出了一个看上去几乎像游戏的问题：给定一组互不相同、且不包含 0 的整数，能不能重新排列它们，使从第一个数开始依次累加得到的每一个部分和都不相同？
如果运算局限在一个会循环的有限数系里，这个问题就突然变得棘手起来。
今年的最后一项研究，补上了这个持续 55 年的证明缺口。据《量子杂志》报道，这场漫长接力最终依靠的是一个颇为反直觉的工具：随机性。
《量子杂志》（Quanta Magazine）报道截图
划重点：
- 问题始于 1971 年。罗纳德·格雷厄姆提出：一组数字能否总被重新排列成一种“部分和永不重复”的顺序？
- 难点在于循环数系。当数字按照质数模运算时，加法会像钟表一样循环，数字越加越可能重新回到同一个位置。
- 四篇论文完成证明。不同研究团队分别解决了“小集合”和“大集合”等情形，最后由两位数学家处理最困难的中间规模情况。
- 关键转折来自随机性。他们先随机排列数字，再证明那些会破坏排列的“坏事件”出现概率足够低。
- 最后一步用了傅里叶分析。它帮助数学家估计随机数字之和落在某个特定值上的概率，从而证明总能找到满足条件的排列。
本文目录：
- 一个关于“数字顺序”的问题
- 数学家从随机排列寻找答案
- 一次偶然合作，补上最后缺口
- 两位数学家重新遇到此问题
- 证明“坏事情”很难发生
- 傅里叶分析把概率算了出来
- 四篇论文，猜想终于完整了
一个关于“数字顺序”的问题
部分和为什么会成为难题
想象一组互不相同的非零整数，比如若干正数和负数。把它们排成一个序列，然后依次计算：第一个数；前两个数之和；前三个数之和；前四个数之和……这些结果就叫作部分和。
格雷厄姆的问题是：能不能总找到一种排列，使所有部分和都互不相同？
如果数字全部是正数，问题很简单。每加入一个数字，部分和都会继续增大，因此不可能重复。
即使同时存在正数和负数，在通常的整数运算中，这个问题也已经被证明可以解决。真正困难的是另一种情况：数字不是生活在无限延伸的整数轴上，而是在一个有限、循环的数系中运算。
据《量子杂志》报道，格雷厄姆在 1971 年提出的正是这个问题。这个问题后来被称为格雷厄姆排列猜想。
已故数学家罗纳德·格雷厄姆也是一位技艺精湛的杂耍演员。（图源：Peter Vidor, CC BY 3.0, via Wikimedia Commons）
把整数“卷成一只钟”
设有一个质数 $p$，例如 7。在模 7 运算中，0、7、14、21……都被视为同一个数；6 再加 1，也会回到 0。
换句话说，原本无限延伸的整数轴被“卷”成了一个循环系统，就像钟表上的数字一样。于是，即使你不断把数字加起来，部分和也可能绕一圈重新回到此前出现过的位置。
而一旦两个部分和相同，就意味着它们之间那一段数字的和等于 0。因此，格雷厄姆的问题可以换一种方式理解：能不能排列一组非零数字，使序列中的任何连续一段数字，都不会加起来等于 0？
看似只是换了一种说法，却让问题与组合数学中的结构设计联系起来。
普林斯顿大学数学家诺加·阿隆（Noga Alon）在《量子杂志》的报道中指出，这类问题与数独、拉丁方等数学设计问题有相似之处：即使规则非常严格，系统中仍可能存在足够的自由度，让人构造出满足全部约束的特殊结构。
但这一次，这种“应该存在”的直觉，花了 55 年才得到完整证明。
数学家从随机排列寻找答案
先随机，再修补
据《量子杂志》报道，牛津大学数学家阿尔普·穆耶瑟（Alp Müyesser）在研究其他组合数学问题时，发现自己的方法可能也能处理格雷厄姆猜想。
他与伦敦大学学院的前导师阿列克谢·波克罗夫斯基（Alexey Pokrovskiy）首先研究的是一种极端情况：集合中的数字已经非常多，接近模 $p$ 系统中所有可能的非零数字。直觉上，数字越多，越难找到一个完美排列。
但他们发现了一个重要思路：不必一开始就构造出完美答案，可以先随机排列，再修补随机排列中的问题。
他们先从数字集合中拿出少量特殊数字，剩下的数字随机排列。然后检查这个排列中有没有某一段连续数字的和等于 0。如果发现了，就把预留的数字插入其中，改变这段数字的和。
这种方法并不保证每一次随机排列都能修好，但穆耶瑟和波克罗夫斯基在 2022 年证明，它足以解决格雷厄姆猜想的一大类情况。
这实际上体现了概率方法在组合数学中的一种典型思路：不一定需要直接描述一个满足条件的对象，只要能证明随机产生这样的对象的概率大于 0，就可以证明它必然存在。
另一端也被攻破
两年后，牛津大学数学家诺亚·克拉维茨（Noah Kravitz）在一个未解决问题数据库中偶然发现了格雷厄姆猜想。
他与本杰明·贝德特（Benjamin Bedert）研究了几乎相反的情形：数字集合非常小，相对于 $p$ 而言只占很小一部分。例如，普林斯顿大学的阿隆举例说，如果只有 100 个数字，而 $p$ 达到 10 亿，那么需要处理的数字数量相对于整个循环数系来说就非常少。
克拉维茨和贝德特在 2024 年证明了这一类情形。随后，穆耶瑟看到了他们的研究，双方开始合作。2025 年，他们又进一步扩大了已经解决的范围。
但问题仍然没有彻底结束。大集合和小集合之间，还隔着一块最难处理的中间区域。例如，当数字集合大约包含 $p$ 的一半时，之前的方法都失效了。穆耶瑟后来表示，他们的方法在这个区域无法奏效，而且存在明确的数学原因解释为什么它们无法奏效。
55 年的猜想似乎又要进入长期搁置。
一次偶然合作，补上最后缺口
两位数学家重新遇到此问题
2025 年 9 月，德国波恩大学的丽莎·绍尔曼（Lisa Sauermann）和芝加哥大学的范慧（Huy Tuan Pham）在德国参加会议。
两人早在 2015 年就认识。当时绍尔曼是斯坦福大学研究生，范慧还是本科生。多年后，他们分别在德国波恩和美国芝加哥工作。这次会议上，他们听到了两场关于格雷厄姆猜想的报告，也了解到此前研究留下的那个中间规模缺口。两人决定一起尝试。
绍尔曼其实早就接触过与这个问题相近的数学题。她高中时期曾参加国际数学奥林匹克竞赛，并四次获得金牌。
据《量子杂志》报道，绍尔曼和范慧在德国短暂相聚期间重新拿起粉笔，三天后，他们已经形成了新的证明方案。关键工具是一个听起来与“集中”相反的概念：反集中性。
丽莎·绍尔曼（Lisa Sauermann）和范慧（Huy Tuan Pham）是十年的老朋友。他们最近在格雷厄姆猜想问题上的合作最终解决了这个问题。（图源：Barbara Frommann/University of Bonn; Courtesy of Huy Tuan Pham）
证明“坏事情”很难发生
他们沿用了此前研究中的基本框架：先把数字随机排列，然后寻找并修补那些连续和为 0 的区间。但修补过程可能遇到三种麻烦。
第一种，坏区间出现在整个排列的末尾，后面已经没有数字可以替换。第二种，多个坏区间挤在一起，导致可用于修补的数字不够。第三种，修补一个坏区间之后，又在其他地方制造出了新的坏区间。
如果这三种情况发生得太频繁，整个方法就会失败。绍尔曼和范慧的目标因此变得非常明确：证明这些“坏事件”总体上不太可能发生。这就是反集中性发挥作用的地方。
傅里叶分析把概率算了出来
为了做到这一点，两人使用了傅里叶分析。傅里叶分析通常被用于把复杂函数分解成简单波形。但在这里，它提供了一种研究随机数字之和分布的方法。
核心问题是：当随机选择一组数字并把它们加起来时，某一个特定的和，会不会特别容易出现？如果某些和异常集中，那么随机排列就可能频繁制造问题。
而绍尔曼和范慧利用傅里叶分析证明，在相关情形下，随机数字之和不会特别偏向某一个结果。借助这一性质，他们进一步估计三类坏事件发生的概率。
最终，他们证明：这些坏事件同时发生的总概率小于 100%。
这个结论看起来非常朴素，却足以完成证明。因为只要坏事件不可能在所有排列中都发生，就至少存在一种排列，可以避开它们。
2026 年 2 月，两人在网上公布了 27 页的最终证明。据《量子杂志》报道，他们不仅证明了满足条件的排列始终存在，还证明从随机排列出发，通过这种修补方法，至少有 90% 的情况下可以消除所有坏事件。
困扰数学家 55 年的最后一个缺口，就此关闭。
四篇论文，猜想终于完整了
四篇论文最终从不同方向覆盖了不同规模的数字集合。穆耶瑟和波克罗夫斯基解决了大型集合中的一部分情况；克拉维茨和贝德特处理了小型集合；随后几位数学家合作扩大了大型集合的覆盖范围；最后，绍尔曼和范慧利用反集中性和傅里叶分析，解决了此前最难处理中等规模的区域。
据《量子杂志》报道，这几项研究共同证明了格雷厄姆排列猜想。
不过，严格来说，这个故事仍有一个数学上的尾巴。这些证明都要求 $p$ 足够大。研究人员没有计算出一个具体的最小 $p$，而是证明当 $p$ 大到足够程度时，结论成立。报道中给出的量级直觉是类似 $10^{100}$。
因此，如果把问题严格表述为“对所有质数 $p$ 是否成立”，仍然存在技术上的未决部分。而如果想把这个数学结果真的用于编排杂耍表演，同样不现实：如此巨大的 $p$ 意味着需要的表演长度也会大得无法实际完成。
但数学家真正关心的，并不是一场现实中的杂耍。这个问题最有意思的地方，在于它展示了一种数学家反复使用、却并不总是直观的方法：面对极其严格的结构约束时，随机性并不一定意味着失去控制。恰当地利用随机性，反而可能暴露出原本难以直接构造的结构。
阿隆认为，即使是在这种非常受限的有限数系中，仍然存在某种稳定的结构，让数字可以被重新排列而不重复经过相同的部分和。
而对于最初提出这个问题的格雷厄姆来说，这或许尤其合适。他一生同时热爱数学和杂耍，也曾解释过自己为什么喜欢杂耍：其中吸引人的，正是对模式和结构的寻找。
55 年后，他留下的这个问题终于找到了答案。🅠
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参考资料
Shalma Wegsman. Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture. Quanta Magazine, September 28, 2026. https://www.quantamagazine.org/mathematicians-harness-randomness-to-crack-a-55-year-old-conjecture-20260928/
Alp Müyesser, Alexey Pokrovskiy. A random Hall-Paige conjecture. arXiv, April 2022. https://arxiv.org/abs/2204.09666
Benjamin Bedert, Noah Kravitz. Graham's rearrangement conjecture beyond the rectification barrier. arXiv, September 2024. https://arxiv.org/abs/2409.07403
Alp Müyesser et al. On Graham's rearrangement conjecture over Fn2. arXiv, August 2025. https://arxiv.org/abs/2508.18254
Lisa Sauermann, Huy Tuan Pham. On Graham's rearrangement conjecture. arXiv, February 2026. https://arxiv.org/abs/2602.15797
发表于 2 小时前
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