详解二次线性规划（QP）在量化投资中的5个实战应用

在量化策略的武器库中，二次线性规划（Quadratic Programming，简称 QP）常被称为“带约束的优化工具”。它的核心是在线性约束条件下，最小化（或最大化）一个包含“变量二次项”的目标函数。这种特性，让它既能精准平衡多目标需求（如收益、风险），又能严格遵守交易规则（如仓位、流动性限制），从而成为资产配置、风险对冲、组合优化等场景的核心技术。对于希望从经验判断转向科学决策的量化从业者而言，理解 QP 的原理与应用，是构建稳健策略体系的关键一步。

一、核心原理：从“线性”到“二次”的优化升级

1. 数学定义（量化常用形式）

QP 的核心是“目标函数含二次项+约束条件为线性”。在量化领域，最常用的是“最小化风险”的形式，其标准数学表述如下：

目标函数（最小化）：f(x) = (1/2)xᵀQx + cᵀx
约束条件（线性）：
  A·x ≤ b          （不等式约束，如单标的仓位≤10%）
  A_eq·x = b_eq    （等式约束，如总仓位=100%）
  lb ≤ x ≤ ub      （变量边界，如仓位≥0，无做空）

• 关键参数解读：
  • x：决策变量。在量化中，它通常是“各标的的持仓权重或手数”。
  • Q：二次项矩阵。这是 QP 的灵魂，在量化中多为协方差矩阵，用于衡量不同标的间波动率的相关性，直接决定了整个投资组合的风险结构。这涉及到大量的数据挖掘和统计分析工作。
  • c：线性项系数。在量化中可设为“预期收益向量”，用于在优化中平衡收益与风险。
  • 约束条件：这些就是量化策略必须遵守的交易规则，例如仓位上限、行业集中度、流动性要求等。

2. 与线性规划（LP）的核心区别

很多初学者会混淆 QP 和 LP，理解它们的区别至关重要。

优化类型	目标函数特点	量化场景适配性	核心优势
线性规划（LP）	仅含线性项（无二次项）	简单资源分配（如固定资金拆分）	计算速度快，适合单一目标优化
二次线性规划（QP）	含二次项+线性项	风险-收益平衡、组合优化	可量化“波动相关性”，完美贴合金融市场多变量、相互关联的风险特性

简单来说，LP 只能处理线性的收益或成本，而 QP 通过二次项（xᵀQx）引入了“波动”和“相关性”的概念，这正是现代投资组合理论的核心。

3. 求解逻辑：找到“最优可行解”

QP 的求解本质，是在由“所有线性约束构成的可行域”（想象成一个多维空间中的多面体）内，找到使那个二次“碗状”目标函数值最小（或最大）的那个点。

• 当 Q 为正定矩阵时（在量化中，由历史收益率计算的协方差矩阵通常满足此条件），目标函数是“严格凸”的，存在唯一的全局最优解，求解非常稳定。
• 在实际操作中，量化开发者无需手动推导求解算法，直接调用成熟的优化库（如 Python 的 scipy.optimize.minimize、cvxpy），输入定义好的目标函数和约束条件，即可快速得到最优的持仓权重 x。

二、量化策略核心应用场景（落地性强）

QP 的核心价值就是“在既定规则内寻找最佳平衡点”。以下是其在量化投资中已被广泛验证的五大落地场景。

1. 资产配置：马科维茨均值-方差优化（最经典）

这几乎是 QP 在金融领域的“成名作”。

• 核心逻辑：在“给定预期收益”下最小化组合风险，或在“给定风险上限”下最大化组合收益。这本质上就是 QP 的直接应用。
• 模型构建：
  • 目标函数：(1/2)xᵀΣx。其中 Σ 为投资标的的协方差矩阵，最小化组合方差就等于最小化风险。
  • 线性约束：
    • 等式约束：x₁ + x₂ + ... + xₙ = 1（总仓位配置为 100%）。
    • 不等式约束：E(x) ≥ r（组合预期收益不低于目标收益 r）。
    • 变量边界：xᵢ ≥ 0（不允许做空，或设为 xᵢ ≥ -0.1 以允许 10% 比例内的做空）。
• 实战价值：它自动替代了简单的“等权重配置”。系统会根据标的间的波动相关性来分配仓位——相关性低的标的会被多配置一些，从而有效降低整个组合的风险。这种方法非常适用于基金、多因子策略组合的长期仓位分配。

2. 风险对冲：股指期货/期权对冲优化

• 核心逻辑：通过 QP 计算“最优对冲仓位”，目标是使对冲后的投资组合波动（风险）最小化，或者在对冲成本与效果间取得平衡。
• 示例（股票组合用股指期货对冲）：
  • 决策变量：股指期货的持仓手数 x。
  • 目标函数：Var(组合收益 - x × 期货收益)，即最小化对冲后组合收益的方差。
  • 约束条件：x ≥ 0（仅使用多头期货进行对冲，也可设为 x ≤ 0 允许使用空头期货）。
• 实战价值：相比传统的“1:1 市值对冲”，QP 模型可以综合考虑股票组合与期货指数之间的相关性、基差变化等因素，动态调整对冲比例。实战中，这种优化方法能将对冲效率提升 15%-20%，是量化多头策略重要的风险“安全垫”。

3. 量化选股：带约束的多因子组合构建

在通过多因子模型（如价值、成长、质量因子）初选出一批股票后，如何分配资金就成了关键问题。

• 核心逻辑：用 QP 优化各股票的持仓权重，在追求因子收益的同时，满足严格的风控和交易约束。
• 模型构建：
  • 目标函数：xᵀF - λ·(1/2)xᵀΣx。其中 F 是各股票的因子预期收益向量，λ 是风险厌恶系数，用于平衡因子收益与组合风险。
  • 线性约束：
    • 单只股票仓位 ≤ 5%（防止过度集中）。
    • 单一行业总暴露 ≤ 20%（控制行业偏离风险）。
    • 流动性约束：xᵢ × 股票流通市值 ≥ 1000万（避免陷入小盘股的流动性陷阱）。
• 实战价值：有效避免了因子选股后可能出现的持仓过度集中、行业暴露过高等问题，确保最终构建的组合既符合因子逻辑的收益预期，又满足机构严格的风控规则。

4. 网格/趋势策略：动态仓位优化

在短线或中线策略中，仓位管理同样可以借助 QP 实现动态优化。

• 核心逻辑：在网格交易或趋势跟踪策略中，根据市场波动率的变化，使用 QP 动态调整各标的的持仓权重。
• 示例（基于波动率的网格策略）：
  • 决策变量：各个网格标对应的持仓权重 x。
  • 目标函数：(1/2)xᵀΣx。这里的 Σ 可以用标的的 ATR（平均真实波幅）矩阵来替代，以最小化组合的整体波动。
  • 约束条件：
    • 总仓位 ≤ 80%（预留现金应对极端波动）。
    • 单标的仓位 ≥ 5%（避免资金过度分散，影响策略效率）。
• 实战价值：相比固定权重的网格策略，这种动态优化能根据实时波动率自动调整——对高波动标的自动降仓，对低波动标的适当加仓，从而显著提升策略在复杂市况下的稳健性和适应性。

5. 做市商策略：报价与库存优化

• 核心逻辑：做市商需要在“报价获得的价差收益”和“持有库存面临的波动风险”之间进行权衡，QP 是求解此最优平衡点的核心工具。
• 模型构建：
  • 目标函数：价差收益 - 库存波动成本。其中库存波动成本通常以库存市值的方差（二次项）来表示。
  • 约束条件：
    • 库存总规模 ≤ N 手（严格的风险限额）。
    • 买卖报价价差 ≥ 最小变动单位（遵守交易所规则）。
• 实战价值：模型可以自动输出最优的买卖报价以及建议持有的库存量，帮助做市商在严格可控的风险范围内，追求做市收益的最大化，广泛应用于 ETF、可转债等品种的做市策略。

三、量化实战关键注意事项

理论很美，但落地时细节决定成败。以下是应用 QP 时必须关注的几个要点。

1. 数据预处理（核心前提）

• 协方差矩阵 (Q)：需要使用足够长时间的历史数据（如 20-60 个交易日）进行计算。数据需经过去极值、平滑等预处理，避免因个别交易日异常波动导致矩阵失真，进而产生不稳定的优化结果。
• 预期收益 (c)：可通过多因子模型（如 Fama-French 三因子）、历史收益均值等方法估算。切忌主观设定过高的收益预期，否则会引导优化器去承担不必要的高风险。

2. 约束条件设计（贴合交易实际）

• 避免过度约束：约束条件不是越多越好。过多的约束可能导致“可行域为空”，即没有任何解能同时满足所有条件。通常只需保留仓位、集中度、流动性这三类最核心的约束。
• 动态调整约束：策略应具备灵活性。在行情剧烈波动时，可以自动收紧约束（如将单票持仓上限从 5% 降至 3%）；在市场震荡时则可适当放宽，以捕捉更多机会。

3. 求解工具选择

不同工具库适用于不同规模的场景。

工具库	优势	适配场景
scipy.optimize (Python)	轻量，SciPy 库自带，无需额外安装	简单的组合优化问题（标的数量 ≤ 20）
cvxpy	建模语法直观，支持复杂约束，易于扩展和维护	多标的、多约束的复杂场景（推荐使用）
Gurobi / CPLEX	商业求解器，求解速度极快，稳定性高	机构级大规模策略（通常需要付费许可证）

4. 回测与实盘差异

• 回测中：通常假设没有交易滑点、没有流动性限制，此时 QP 求出的解是理论上的最优解。
• 实盘中：必须将交易成本（佣金、印花税）和预估滑点作为惩罚项加入到目标函数或约束中。否则，回测中表现优异的“最优解”可能会因为高昂的交易成本而在实盘中侵蚀全部利润。

四、总结

二次线性规划（QP）在量化投资中的核心价值，在于它实现了 “带约束的多目标优化” 。它成功地将风险、收益这些核心指标进行了量化建模，并让策略能够严格“遵守”既定的交易规则，从而解决了量化开发中“想优化但怕违规、想平衡却无工具”的普遍痛点。

它的应用场景高度集中于那些需要“精准平衡”的环节，例如组合权重分配、风险对冲比例计算、动态仓位调整等。尤其适合中低频的量化策略，如资产配置、多因子选股等，是推动量化策略从“经验驱动”迈向“科学驱动”的关键数学工具之一。掌握 QP，就等于为你量化工具箱增添了一件解决复杂平衡问题的利器。

希望这篇关于 QP 原理与实战应用的解析，能对你的量化策略研究有所启发。如果你想与更多同行交流类似的技术问题，欢迎访问 云栈社区 的相关板块进行深入讨论。

风险提示：本文内容仅作为金融量化技术知识分享，所有示例及结论均基于历史数据与模型假设，不构成任何具体的投资建议或承诺。市场有风险，投资需谨慎。