从菲涅尔公式推导玻璃表面的4%反射率：正入射条件详解

你有没有过这样的经历：对着窗户拍照想定格窗外的美景，结果照片里却悄悄映出了自己的影子；或者在光线充足的房间里，透过玻璃门既能看到门后的场景，又能隐约看到自己的倒影？这背后其实藏着一个有趣的光学原理。

日常使用的无镀膜玻璃，其表面反射率大约只有4%。正是这微弱的4%，在让我们看清前方的同时，也带来了那层淡淡的“温柔打扰”。

图1：拍摄玻璃照片

图1右的照片在拍摄黄昏街道时，为什么会出现两个反射的像呢？核心原因在于反射面是双层玻璃（由两片玻璃与中间的空气层构成）。

从光学原理来看，光线照射到双层玻璃时，会发生两次主要反射：一是来自外层玻璃的前表面，二是穿过外层玻璃和空气层后，来自内层玻璃的前表面。由于玻璃与空气的折射率差异，每次反射的反射率约为4%（垂直入射时），这两个反射光强相近的像均能被清晰记录；同时，光线在玻璃与空气层的界面间会发生多次折射，导致两次反射光的传播路径产生微小差异，最终成像出现轻微位移。

图2：双层玻璃反射成像示意图

怎样才能减少拍照时反射像的干扰呢？你可能会想到使用偏振片将反射光过滤掉。这里就需要提到一个关键概念：布儒斯特角。

图3：布儒斯特角光路图

正常室外的光是由p偏振光与s偏振光组成的。当光线以布儒斯特角入射时，反射光完全是S偏振光。因此，在此角度下拍摄，只需要使用偏振片将S偏振光过滤掉，就可以彻底消除反射光对拍照的影响。

图4：是否使用偏振片的拍摄图像对比

一、核心理论基础：菲涅尔公式（Fresnel Equations）

要搞懂这4%的反射率，得先请出物理学里的“关键工具”——菲涅尔公式。它能准确描述光在两种透明介质（比如空气和玻璃）交界处的反射、透射规律，包括振幅和相位的变化，也是我们推导4%反射率的核心依据。

菲涅尔公式：

• r_s = (n1cosθ₁ - n2cosθ₂) / (n1cosθ₁ + n2cosθ₂) (1)
• r_p = (n2cosθ₁ - n1cosθ₂) / (n2cosθ₁ + n1cosθ₂) (2)
• R_s = |r_s|² (3)
• R_p = |r_p|² (4)
• R = (R_s + R_p) / 2 (5)

这里简单解释下符号：n1 是第一种介质的折射率（比如空气），n2 是第二种介质的折射率（比如玻璃），θ1 是光的入射角，θ2 是光的折射角。

图5：菲涅尔公式相关示意图

1.1 前提假设（4%反射率的适用场景）

不过要说明的是，“无镀膜玻璃反射率约4%”不是万能结论，它需要满足几个日常场景里常见的条件，我们简化成3个好理解的前提：

a. 自然光入射：日常光源如阳光、灯光可视为自然光，其s偏振与p偏振分量能量各占一半；
b. 光线垂直入射：入射角 θ₀ = 0°，这是我们平时最常遇到的情况，比如看窗户、看玻璃桌面时，光线大多是垂直入射的；
c. 忽略吸收损耗：空气和玻璃在可见光波段几乎不会吸收光线，所以不考虑光被介质吸收的影响。

1.2 正入射下的菲涅尔公式简化

在光线垂直照射玻璃表面（正入射）的条件下，入射角和折射角都等于0度，余弦值 cos θ₁ = cos θ₂ = 1。此时，s偏振和p偏振的反射系数变得相等，菲涅尔公式可以得到极大的简化。

简化过程：

• 此时 s 偏振和 p 偏振的反射系数相等，菲涅尔公式可简化为：r = rₛ = rₚ = (n₂ - n₁) / (n₂ + n₁) （6）
• 反射率 R（能量反射比例）与振幅反射系数的平方成正比，因此：R = |r|² = |(n₂ - n₁) / (n₂ + n₁)|² （7）

公式（7）就是我们计算玻璃表面反射率的最终简化形式。

二、4%反射率的详细推导与计算

2.1 标准折射率数值代入

在可见光范围内（约400–760 nm），相关介质的典型折射率为：

a. 空气折射率：实际约 1.0003，计算中常用 1.0 近似；
b. 普通钠钙玻璃折射率（门窗、器皿常用）：实际范围约 1.48–1.52，1.5 为常用代表值。

2.2 分步计算过程

有了简化的公式和具体的折射率数值，现在我们可以一步步算出那个著名的4%。

计算步骤如下：
a. 将 n1 = 1.0、n2 = 1.5 代入公式(7)。
b. 计算分子：n1 - n2 = 1.0 - 1.5 = -0.5（负号表示反射光存在半波损失，取平方后不影响反射率大小）。
c. 计算分母：n1 + n2 = 1.0 + 1.5 = 2.5。
d. 计算振幅反射系数：r = -0.5 / 2.5 = -0.2。
e. 计算反射率：R = (-0.2)² = 0.04，即 4%。

三、延伸分析1：入射角度对反射率的影响

前述4%反射率仅适用于正入射。当光线倾斜入射时，反射率会显著变化，此时需使用完整的菲涅尔公式进行分析。

3.1 关键规律总结

入射角 θ₀ 从 0° 增大至 90°（掠入射）时，自然光总反射率整体呈上升趋势。

• 当角度小于布儒斯特角时，p偏振光的反射率持续下降。
• 当角度正好等于布儒斯特角时，p偏振光反射率为零，此时反射光全部是s偏振光。
• 当角度大于布儒斯特角后，p偏振光反射率迅速升高。
• 对于s偏振光，其反射率随着入射角的增加而单调增加。

图6：反射率随入射角变化曲线

四、延伸分析2：玻璃折射率对反射率的影响

4.1 核心规律

在正入射条件下，反射率 随玻璃折射率的增大而升高。

4.2 实例验证

不同折射率玻璃的反射率计算实例如下：

图7：反射率随n2变化图像

具体计算示例：

• a. 低折射率玻璃（如石英玻璃，n₂ ≈ 1.46）：R ≈ (1 - 1.46)²/(1 + 1.46)² ≈ 3.5%
• b. 普通钠钙玻璃（n₂ ≈ 1.5）：R ≈ 4%
• c. 高折射率玻璃（如重火石玻璃，n₂ ≈ 1.7）：R ≈ (1 - 1.7)²/(1 + 1.7)² ≈ 6.7%

由此可见，日常使用的普通玻璃（折射率介于1.48–1.52）其正入射反射率均在4%附近。

五、总结

无镀膜玻璃表面约4%的反射率，来源于菲涅尔公式在正入射条件下的简化形式，代入 n1=1.0、n2=1.5 即可直接算得。

• 入射角的影响：反射率整体随入射角增大而上升，仅在近正入射时可近似视为4%。
• 折射率的影响：玻璃折射率越高，正入射反射率越大。日常玻璃反射率均接近4%。

附录：MATLAB代码可实现反射率的计算与可视化

以下是用于计算和绘制反射率随入射角变化曲线的MATLAB代码示例。理解这些计算机基础上的数值计算，能帮助我们更直观地验证理论。

clear;
clc;
close all;

n1 = 1;          % 空气折射率
n2 = 1.5;        % 玻璃折射率
theta_1_deg = 0:0.01:90;  % 入射角数组（角度制，用于绘图显示）
len = length(theta_1_deg);
r_s_arr = zeros(len, 1);  % s偏振振幅反射系数数组
r_p_arr = zeros(len, 1);  % p偏振振幅反射系数数组
R_S_arr = zeros(len, 1);  % s偏振光强反射率数组
R_P_arr = zeros(len, 1);  % p偏振光强反射率数组
R_arr = zeros(len, 1);    % 自然光平均反射率数组

for i = 1:len
    theta_1_rad = deg2rad(theta_1_deg(i));
    theta_2_rad = asin((n1/n2) * sin(theta_1_rad));
    [r_s, r_p, R_S, R_P, R, ~] = Fresnel(n1, n2, theta_1_rad, theta_2_rad);
    r_s_arr(i) = r_s;
    r_p_arr(i) = r_p;
    R_S_arr(i) = R_S;
    R_P_arr(i) = R_P;
    R_arr(i) = R;
end

% 绘图展示（用角度制theta_1_deg绘图，反射率转百分比）
figure;
plot(theta_1_deg, R_S_arr*100, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 's偏振');
hold on;
plot(theta_1_deg, R_P_arr*100, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'p偏振');
plot(theta_1_deg, R_arr*100, 'k--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '自然光平均');
xlabel('入射角 (°)');
ylabel('反射率 (%)');
title('无镀膜玻璃表面的菲涅尔反射率');
grid on;
legend('Location', 'best');  % 优化图例位置

function [r_s,r_p,R_S,R_P,R,theta_2] = Fresnel(n1,n2,theta_1,theta_2)
r_s = (n1*cos(theta_1) - n2*cos(theta_2)) / (n1*cos(theta_1) + n2*cos(theta_2));
r_p = (n2*cos(theta_1) - n1*cos(theta_2)) / (n2*cos(theta_1) + n1*cos(theta_2));
R_S = abs(r_s)^2;
R_P = abs(r_p)^2;
R = (R_S+R_P)/2;
end

如需变更为分析反射率随折射率 n2 变化的程序，请按以下步骤修改上述代码：

1. len = length(theta_1_deg); 变为 len = length(n2) （n2需预先定义为数组，如 n2 = 1.4:0.01:1.8;）
2. theta_1_rad = deg2rad(theta_1_deg(i)); 变为 theta_1_rad = deg2rad(theta_1_deg); 并放在 for 循环之外（假设 theta_1_deg 为固定角度值）。
3. 在 for 循环中增加 n2i = n2(i);
4. theta_2_rad = asin((n1/n2) * sin(theta_1_rad)); 变为 theta_2_rad = asin((n1/n2i) * sin(theta_1_rad));
5. [r_s, r_p, R_S, R_P, R, ~] = Fresnel(n1, n2, theta_1_rad, theta_2_rad); 变为 [r_s, r_p, R_S, R_P, R, ~] = Fresnel(n1, n2i, theta_1_rad, theta_2_rad);
6. 绘图部分将所有的 theta_1_deg 变为 n2。

希望这篇结合了理论推导、数值计算和日常现象的分析，能帮助你彻底理解玻璃表面那4%反射率的由来。如果你对光学模拟或MATLAB编程有更多兴趣，欢迎在云栈社区与大家交流探讨。