在嵌入式系统中，可以说 “无滤波器，不嵌入式”。各类传感器信号往往携带着噪声，而滤波器能有效降低或去除噪声，还原真实有用的信号。无源RC滤波器因其成本低廉、设计简单，且易于转化为软件滤波器模型，成为众多应用场景的首选。然而，许多工程师仍然停留在凭经验“盲调”参数的阶段。本文将带你系统性地理解滤波器原理，并掌握从理论计算到实际设计的完整过程，让RC滤波器的设计变得有章可循。
时域和频域
当你在示波器上观察一个电信号时，会看到一条表示电压随时间变化的曲线。在任何一个特定时刻，信号都只有一个电压值。这就是信号的时域表示。
示波器波形虽然直观，但也有其局限性，因为它不直接显示信号的频率成分。与时域相反的是频域。时域表示一个时刻对应一个电压值，而频域表示（或称频谱）则通过识别信号中同时存在的各种频率分量来传递信息。
什么是滤波器？
滤波器是一种电路，它能去除或“滤除”特定范围的频率分量。换句话说，它将信号的频谱分离为可以通过的频率分量和将被阻挡的频率分量。
如果你对频域分析不太熟悉，可能仍难以理解这些频率分量是什么，以及它们如何在一个不能同时具有多个电压值的信号中共存。让我们看一个简单的例子来澄清这个概念。
假设我们有一个由完美的5kHz正弦波组成的音频信号。我们知道时域中的正弦波是什么样子，而在频域中，我们只会看到一个5kHz的频率“尖峰”。现在，假设我们激活一个500kHz的振荡器，将高频噪声引入这个音频信号。
在示波器上，信号仍然只是一个电压序列，每个时刻只有一个值。但由于它现在需要同时体现5kHz正弦波和高频噪声的波动，信号看起来会有所不同。
然而，在频域中，正弦波和噪声是信号中同时存在的、独立的频率分量。它们占据了信号频谱的不同区域（如图1所示）。这意味着，我们可以通过一个允许低频通过并阻挡高频的电路来滤除噪声。
图1：正弦波和噪声信号在频域的不同分布
滤波器的类型
滤波器可以根据其频率响应的一般特征进行大致分类。如果滤波器让低频通过并阻挡高频，则称为低通滤波器；如果阻挡低频而让高频通过，则是高通滤波器。此外，还有仅让较窄频率范围通过的带通滤波器，以及仅阻挡较窄频率范围的带阻滤波器（图2）。
图2：低通、高通、带通、带阻滤波器的频域表示
滤波器也可以根据实现电路所用的元件类型来分类。无源滤波器使用电阻、电容和电感，这些元件不具备放大能力，因此无源滤波器只能维持或减小输入信号的幅度。另一方面，有源滤波器既能滤波又能提供增益，因为它包含了如晶体管或运算放大器之类的有源元件（图3）。
图3：一种基于Sallen-Key拓扑的有源低通滤波器
本文将重点探讨无源低通滤波器的分析与设计，这些电路在各种系统和应用中扮演着重要角色。
RC低通滤波器
要构建一个无源低通滤波器，我们需要将电阻元件与电抗元件组合在一起。也就是说，需要一个由电阻和电容，或电阻和电感组成的电路。理论上，电阻-电感（RL）低通拓扑在滤波能力上与电阻-电容（RC）低通拓扑相当。但在实际中，RC方案更为常见，因此本文将聚焦于RC低通滤波器（图4）。
图4：RC低通滤波器
如上图所示，通过在信号路径中串联一个电阻，并与负载并联一个电容，即可产生RC低通响应。图中的负载是单个组件，但在实际电路中，它可能更复杂，例如模数转换器、放大器，或是用于测量滤波器响应的示波器输入级。
如果我们将电阻和电容视为一个与频率相关的分压器，就能直观地理解RC低通拓扑的滤波动作（图5）。
图5：将RC低通滤波器重新绘制为分压器形式
当输入信号的频率较低时，电容的阻抗相对于电阻的阻抗要高。因此，大部分输入电压会降落在电容（以及与其并联的负载）两端。当输入频率较高时，电容的阻抗相对于电阻的阻抗较低，这意味着电阻上的压降增大，而传递到负载上的电压减少。因此，低频得以通过，高频被阻挡。
对RC低通功能的这种定性描述是重要的第一步，但在实际电路设计时帮助有限，因为“高频”和“低频”这些术语非常模糊。工程师需要设计能通过和阻挡特定频率的电路。例如，在上述音频系统中，我们希望保留5kHz信号并抑制500kHz信号。这意味着我们需要一个滤波器，其通带和阻带之间的过渡发生在5kHz到500kHz之间的某个频率。
理解关键参数：带宽与截止频率
滤波器不会引起显著衰减的频率范围称为通带，而产生显著衰减的频率范围称为阻带。像RC低通滤波器这样的模拟滤波器，总是从通带到阻带逐渐过渡。我们无法明确指出一个信号从通过变为被阻挡的精确频率点。然而，工程师需要一个简洁的方式来概括滤波器的频率响应，这就是截止频率概念的用武之地。
当你查看RC滤波器的频率响应曲线时，会发现“截止”这个词并不十分精确。那种将信号频谱“一刀切”为通过和被阻两部分的图像并不适用，因为衰减是随着频率从截止点以下移动到以上而逐渐增加的。
实际上，RC低通滤波器的截止频率是输入信号幅度下降3dB的频率（选择这个值是因为幅度下降3dB对应功率下降50%）。因此，截止频率也称为 -3dB频率，这个名称更准确且信息量更大。术语带宽指的是滤波器通带的宽度，对于低通滤波器，带宽就等于-3dB频率（如图6所示）。
图6：RC低通滤波器频率响应的一般特性，带宽等于-3dB频率
如前所述，RC滤波器的低通行为源于电阻（频率无关的阻抗）与电容（频率相关的阻抗）之间的相互作用。为了确定滤波器频率响应的细节，我们需要从数学上分析电阻（R）和电容（C）的关系，并可以通过调整这些值来设计满足精确规格的滤波器。RC低通滤波器的截止频率（f_C）计算公式如下：
图7：截止频率计算公式 f_c = 1/(2πRC)
设计实例：从需求到元件选型
让我们来看一个简单的设计实例。电容值的可选范围通常比电阻值更受限制，所以我们从一个常见的电容值（比如10nF）开始，然后利用上述公式来确定所需的电阻值。我们的目标是设计一个滤波器，它能保留5kHz的音频波形，同时抑制500kHz的噪声波形。我们暂定截止频率为100kHz，稍后会仔细分析此滤波器对这两个频率分量的影响。
将数值代入公式进行计算：
图8：计算所需电阻值，结果为R ≈ 159.15 Ω
因此，一个约160Ω的电阻与一个10nF的电容组合，将为我们提供一个频率响应非常接近需求的滤波器。
计算滤波器响应：理论与公式推导
我们可以通过使用频率相关版本的分压器计算，来分析低通滤波器的理论行为。对于一个电阻分压器，其输出电压表达式如图9和图10所示。
图9：电阻分压器电路
图10：分压器公式 V_OUT = V_IN × (R2 / (R1 + R2))
RC滤波器采用了等效结构，只不过我们用电容器替代了R_2（图10）。首先，在分子中用电容的电抗（X_C）代替R_2。接下来，需要计算总阻抗的模值并放入分母中。因此，我们得到公式（图11）：
图11：V_OUT = V_IN × (X_C / √(R_1² + X_C²))
电容的电抗表示其对电流的阻碍作用，但与电阻不同，这种阻碍作用取决于通过电容的信号频率。因此，我们必须针对特定频率计算电抗，公式如下（图12）：
图12：容抗公式 X_C = 1/(2πfC)
在上面的设计实例中，R ≈ 160Ω，C = 10nF。我们假设输入电压V_IN的幅度为1V，这样在计算输出幅度时可以直接忽略V_IN项。首先，我们计算在正弦波频率（5kHz）下的输出电压幅度：
图13：计算X_C at 5kHz
图13（续）：计算V_OUT at 5kHz
正弦波的幅度几乎保持不变（0.999V）。这很好，因为我们的目的是在抑制噪声的同时保留正弦波。这个结果并不意外，因为我们选择的截止频率（100kHz）远高于正弦波频率（5kHz）。
现在，让我们看看滤波器在衰减噪声分量（500kHz）方面的效果如何：
图14：计算X_C at 500kHz
图14（续）：计算V_OUT at 500kHz
噪声幅度大约衰减到了其原始值的20%（0.195V）。这表明滤波器对高频噪声有明显的抑制效果。
可视化滤波器响应：读懂波特图
评估滤波器对信号影响最便捷的方法是观察其频率响应图。这类图表通常称为波特图，其纵轴表示幅度（单位：分贝dB），横轴表示频率（通常采用对数刻度）。这使得我们能够在一个很宽的频率范围内，快速准确地评估滤波器的行为（图15）。
图15：频率响应波特图示例（对数频率轴）
曲线上的每个点表示：如果输入信号的幅度为1V、频率等于横轴上的对应值，那么输出信号将具有的幅度。例如，当输入频率为1MHz时，输出幅度（假设输入为1V）将为0.1V（因为-20dB对应十分之一的衰减因子）。
当你经常接触滤波器电路后，这种频率响应曲线的形状会变得非常熟悉。在通带内，曲线几乎完全平坦；随着输入频率接近截止频率，曲线开始加速下降。最终，衰减的变化率（称为滚降率）稳定在 20dB/十倍频程——即输入频率每增加十倍，输出信号的幅度降低20dB。
评估低通滤波器性能：权衡的艺术
如果我们精确绘制出本文前面设计的滤波器的频率响应，会看到在5kHz处的幅度响应基本为0dB（即几乎无衰减），在500kHz处的幅度响应约为-14dB（对应0.2的增益）。这些数值与我们在上一节中计算的结果一致。
由于RC滤波器总是从通带到阻带逐渐过渡，并且衰减永远不会达到无穷大，我们无法设计出“完美”的滤波器——即对正弦波毫无影响却能完全消除噪声的滤波器。相反，我们总是需要权衡。如果将截止频率移近5kHz，会获得更多的噪声衰减，但想要传送到扬声器的正弦波也会被更多地衰减。如果将截止频率移近500kHz，正弦波频率下的衰减会减小，但噪声频率下的衰减也会减小。
前面我们已经讨论了滤波器如何改变信号中各频率分量的幅度。然而，除了幅度效应，电抗性电路元件总是会引入相移。
低通滤波器相移
相位的概念指的是周期信号在其周期内特定时刻的取值。因此，当我们说电路引起相移时，意味着它在输入和输出信号之间产生了偏差：输入和输出信号的周期不再在同一时刻开始和结束。相移值（例如45°或90°）表示这种偏差的大小。
电路中的每个电抗元件最终都会引入90°的相移，但这种相移不会瞬间发生。输出信号的相位，如同其幅度一样，会随着输入频率的增加而逐渐变化。RC低通滤波器中有一个电抗元件（电容），因此电路最终会引入90°的相移。
与幅度响应一样，通过观察横轴为对数频率的图表，最容易评估相位响应。以下描述概括了一般模式，图16展示了详细信息。
- 相移最初为0°。
- 相移逐渐增加，在截止频率处达到45°；在这部分响应中，变化率逐渐增加。
- 在截止频率之后，相移继续增加，但变化率逐渐降低。
- 随着相移逐渐接近90°，变化率变得非常小。
图16：实线为幅度响应，虚线为相位响应。截止频率为100kHz，注意该点相移为45°。
二阶低通滤波器
到目前为止，我们假设RC低通滤波器由一个电阻和一个电容构成。这种配置是一阶滤波器。
无源滤波器的“阶数”由电路中电抗元件（即电容或电感）的数量决定。高阶滤波器拥有更多的电抗元件，能产生更大的相移和更陡峭的滚降——后者是增加滤波器阶数的主要动机。
为滤波器增加一个电抗元件（例如，从一阶到二阶，或从二阶到三阶），可将其最大滚降率提高 20dB/十倍频程。
二阶滤波器通常围绕由电感和电容组成的谐振电路构建，这种拓扑称为RLC（电阻-电感-电容）。但是，我们也可以构建二阶RC滤波器。如下图所示，我们只需将两个一阶RC滤波器级联起来即可（图17）。
图17：二阶RC低通滤波器结构
虽然这种拓扑肯定能产生二阶响应，但它并不被广泛使用。正如我们将在下一节看到的，其频率响应通常不如二阶有源滤波器或二阶RLC滤波器理想。
二阶RC滤波器的频率响应局限
我们可能会尝试先根据所需截止频率设计一个一阶滤波器，然后简单地将两个这样的滤波器串联起来构成二阶RC低通滤波器。这确实能使滤波器呈现出接近二阶的总频率响应，最大滚降达到40dB/decade而非20dB/decade。
但是，如果我们更仔细地观察响应，会发现-3dB频率实际降低了。二阶RC滤波器的行为不符合简单叠加的预期，因为两个滤波级并非独立工作。因此，不能简单地将两级连接起来，然后将其分析为两个相同一阶低通滤波器的叠加。
更进一步，即使我们在两级之间插入一个缓冲器（使第一级和第二级可以作为独立滤波器工作），在原始设计的截止频率处的衰减也会是6dB，而不是3dB。这正是因为两级各自独立作用的结果：第一级滤波器在截止频率处产生3dB衰减，而第二级滤波器又增加了3dB衰减（图18）。
图18：RLC滤波器（Q=0.707）、带缓冲的RC-RC滤波器、无缓冲的RC-RC滤波器的频率响应对比
二阶RC低通滤波器的一个基本限制是，设计者无法通过调整滤波器的Q因子（表征频率响应阻尼程度的参数）来微调从通带到阻带的过渡特性。如果将两个相同的RC低通滤波器级联，其整体传递函数对应二阶响应，但Q因子固定为0.5。当Q=0.5时，滤波器处于临界过阻尼状态，这会导致频率响应在过渡区域出现“下垂”。二阶有源滤波器和二阶谐振滤波器没有这个限制，设计者可以控制Q因子，从而精确调整过渡区域的频率响应。
小结
所有电信号都是所需频率分量和不需要的频率分量的混合体。不需要的频率分量通常由噪声和干扰引起，有时会对系统性能产生负面影响。
滤波器是对信号频谱的不同部分做出不同响应的电路。低通滤波器旨在允许低频分量通过，同时阻挡高频分量。
低通滤波器的截止频率标识了滤波器从低衰减区域过渡到显著衰减区域的频率点。
RC低通滤波器的输出电压可以通过将电路视为由（频率无关的）电阻和（频率相关的）电抗组成的分压器来计算。
幅度（dB）相对于对数频率（Hz）的图表（波特图）是检查滤波器理论行为的方便且有效的方法。同样，相位相对于对数频率的图表可用于确定输入信号将承受的相移量。
二阶滤波器具有更陡峭的滚降特性；当所需频率分量和不需要的频率分量在频谱上靠得较近时，这种响应非常有用。
可以通过构建两个相同的一阶RC低通滤波器，并将其中一个的输出连接到另一个的输入来创建二阶RC低通滤波器，但需注意，最终的-3dB频率将低于单个一阶滤波器的设计值。
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发表于 12 小时前
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