摘要： 股息期限结构的研究长期受制于 dividend strips 数据的稀缺。Giglio, Kelly and Kozak (2024) 提出了一个仿射模型，仅凭股票组合的横截面收益数据，便能反推出任意组合、任意期限的股息期限结构，且与实际交易数据高度吻合。
0
研究股息期限结构，你绕不开一个问题：数据从哪来？
理论上，答案很清晰。Dividend strips——即对未来某一特定时点股息的单独索取权——的价格，直接反映了投资者对不同期限现金流的折现率。观察这些合约的价格，就能读出期限结构的形状。
现实中，答案很骨感。交易所交易的 dividend strips 数据，最早只能追溯到 2004 年。20 年的数据，只覆盖了一次完整的衰退与复苏。更要命的是，这些数据几乎只有市场层面（S&P 500）的，个股或组合层面的数据极为稀缺；可观测的期限最长也就七年，长端完全是盲区。
于是，研究者面临一个经典的两难：用 dividend strips 数据，直接、干净，但样本太短、截面太窄、期限太有限；用股票横截面数据推断，样本长、覆盖广，但需要对投资者偏好和现金流动态施加大量假设，结论的可信度存疑。
Giglio, Kelly and Kozak (2024)（以下简称 GKK）选择了后者——但他们做了一件很漂亮的事：在完全不使用 dividend strips 数据的前提下，构建了一个模型，然后用实际交易的 dividend strips 数据来验证它（OOS test）。
结果，模型通过了 OOS test。
1
在进入模型之前，我们先回答两件事：期限结构是什么，以及为什么它重要。
股票可以被理解为无数张有期限的索取权的叠加。每一笔未来的股息，都是一张独立的“债券”：明年的股息，是一张 1 年期的索取权；后年的股息，是一张 2 年期的索取权；以此类推，直到无穷远。这种对单一期限股息的索取权，在文献中被称为 dividend strip。它有明确的到期日，即那笔股息发放的年份。因此，股票的当前价格，本质上是所有 dividend strips 价格之和：
$$
P_t = \sum_{n=1}^{\infty} P_t^{(n)}
$$
其中 $P_t^{(n)}$ 是第 $n$ 年 dividend strip 的当前价格。
有了 dividend strip，我们就可以定义股息期限结构的纵坐标——equity yield：
$$
y_t^{(n)} = -\frac{1}{n} \log \left( \frac{P_t^{(n)}}{D_{t+n}} \right)
$$
它和债券 yield 类似：你现在花多少钱，买到第 $n$ 年的股息，对应的年化回报率是多少。
Yield 的高低，是市场对这期现金流的风险的定价投票。Yield 高，说明这期股息的价格被压低了——市场认为它风险大，要求更高的补偿才愿意持有。Yield 低，则说明市场认为这期现金流相对安全，愿意接受更低的回报。期限结构的形状，直接反映了投资者如何看待不同时间尺度上的风险。向上倾斜，意味着远期现金流更危险，符合正常的风险厌恶直觉——类似于债券收益率曲线通常向上倾斜的原因。向下倾斜则更反直觉，也更有信息量：它意味着投资者反而更恐惧近期的现金流风险。这种情况常见于经济衰退期——明年的股息能不能发出来都是问题，市场对短期现金流要求的补偿，反而高于长期。
那么，为什么期限结构重要？传统资产定价研究把一只股票作为整体来看，关注的是：持有这只股票，整体上需要多少风险溢价？但这个问题其实掩盖了更细致的结构。同样是持有一只股票，你同时持有的是它明年的股息、五年后的股息、二十年后的股息——这些现金流的风险特征，未必相同，市场对它们的定价，也未必一致。对于一个有固定期限现金流的项目，你需要知道对应期限的折现率。气候变化投资、私募股权估值、基础设施项目——这些场景里，长端折现率至关重要。从这个角度说，期限结构是检验资产定价模型的利器：长期风险（long-run risk）模型、习惯形成（habit formation）模型、稀有灾难（rare disaster）模型，对期限结构的形状都有截然不同的预测。
GKK 的目标，是用一个经济上合理、统计上简约的模型，将期限结构数据在时间维度上、截面维度上以及期限维度上扩展。
2
GKK 的模型是一个仿射模型（affine model）。这类模型在利率期限结构文献中早有先例，GKK 将其移植到股票定价领域。
模型的核心是一个状态向量 $F_t$，其动态满足线性系统：
$$
F_{t+1} = \mu + \Phi F_t + \Sigma \varepsilon_{t+1}
$$
此外，在随机折现因子（SDF）中，风险价格 $\lambda_t$ 是状态变量的仿射函数：
$$
\lambda_t = \lambda_0 + \lambda_1 F_t
$$
这是一个相当标准的设定。真正有意思的，是 GKK 对状态向量 $F_t$ 的选择。
GKK 将 $F_t$ 定义为两部分：因子收益（$r_t^f$），即市场超额收益加上 51 个异象组合收益的前 3 个主成分（PC）；以及因子 dividend-to-price ratio D/P（$dp_t^f$），即上述 4 个因子对应的股息收益率。合计 8 个状态变量。
这个选择背后有两篇文献的支撑。Kozak, Nagel and Santosh (2020) 表明，少数几个主成分能解释大截面预期收益——4 个因子收益合计解释了 102 个组合收益变异的 93.3%。Haddad, Kozak and Santosh (2020) 进一步表明，这些主成分的估值比率（D/P）在时间序列上强力预测其未来收益和 SDF 风险价格。换言之：因子收益捕捉截面定价，因子 D/P 捕捉时序动态。两者合在一起，构成了一个既能解释截面又能描述动态的状态向量。
在此基础上，GKK 还施加了两个关键约束。第一，SDF 的冲击完全由因子收益冲击张成，即定价信息来自收益本身。第二，因子 D/P 包含了关于未来的全部信息：控制了滞后 D/P 之后，滞后收益率对未来收益率和 D/P 均不再有预测力。这与大量实证文献一致——股息收益率对未来收益的预测力，远强于滞后收益率本身，GKK 直接将这一规律作为假设加入模型。
参数估计上，GKK 采用的是广义矩估计（GMM）方法。这背后的原因很直观：模型要对 102 个组合、横跨近 50 年的月度收益率和股息率数据同时定价，参数之间还存在跨方程的约束，须借助 GMM 这种能一次性处理所有方程的系统估计工具。
这套估计流程有一个至关重要的特点：整个过程中，矩条件里只有 102 个股票组合的收益率和股息率数据，完全没有引入任何 dividend strips 的价格信息。这意味着，在参数估计阶段，模型对“股息期限结构”一无所知。而这，恰恰为接下来最关键的样本外验证埋下了伏笔——用从未见过的真实 dividend strips 数据，去检验模型预测的准确性。
3
有了估计好的 SDF，dividend strips 的定价就成了一个纯粹的计算问题。
在无套利定价框架下，任何资产的当前价格都等于其未来现金流与 SDF 的乘积的期望值，而 GKK 的仿射设定让这个期望值有解析解。这意味着，只要知道当前的状态 $F_t$（这些都可以从股票数据中直接观测或构造），就能直接算出任意期限 $n$ 的 dividend strip 价格，而不需要任何额外的估计。
有了价格，就可以定义 equity yield——它相当于 dividend strip 的“到期收益率”。GKK 沿用 van Binsbergen et al. (2013) 的定义：
$$
y_t^{(n)} = -\frac{1}{n} \log \left( \frac{P_t^{(n)}}{E_t[D_{t+n}]} \right)
$$
如果再结合无风险利率的期限结构数据，还能得到远期股息收益率（forward equity yield）：
$$
f_t^{(n)} = y_t^{(n)} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_t^{f, (i)}
$$
至此，GKK 从股票横截面数据出发，走完了全程：从状态变量到 SDF，从 SDF 到 dividend strips 的解析定价，最后生成可观测的期限结构数据。接下来要做的事情很自然——用真实市场上的 dividend strips 数据，来检验模型算出的这些值到底准不准。
GKK 将模型隐含的 1 年、2 年、5 年、7 年远期股息收益率，与 Bansal et al. (2021) 的实际交易数据对比（由于数据可得性，此处用的 Traded S&P 500 Dividend Forwards）。结果（下图）显示，时间序列走势高度吻合，金融危机期间的期限结构倒挂，模型准确捕捉。模型从未见过 dividend strips 数据，却能复现它的主要特征。
验证完模型，GKK 开始挖掘新事实。将样本延伸至 1970 年代，他们发现期限结构在几乎所有衰退期间均倒挂——不只是金融危机，1980 年代初、1990 年代初、新冠均如此；扩张期间期限结构温和上倾，但统计上不显著；短期股票收益率的波动，主要由股息增长预期驱动，而非折现率变化。
再来看看 cross-section。GKK 为 102 个组合各自生成了一条期限结构曲线。SMB 的期限结构向下倾斜，HML 的期限结构向上倾斜，动量呈非单调形态，特质波动率则先陡降后温和上升。SMB 和 HML 都有正的无条件风险溢价，但期限结构形状截然相反。这意味着：小盘股的风险溢价集中于短期，而价值股的风险溢价集中于长期。任何试图同时解释 size premium 和 value premium 的模型，都必须能够复现这一差异。这是对资产定价模型的精细约束，也是 GKK 这套方法最有价值的地方之一——它把稀缺的 dividend strips 数据，变成了一个覆盖 40+ 年、102 个组合、任意期限的期限结构面板，大幅丰富了模型评估的信息集。
4
读完这篇论文，几点感受。
第一，模型设计的选择至关重要。GKK 的成功，很大程度上来自状态向量的精心选择。他们自己也做了稳健性检验：CAPM 和 Fama-French 五因子模型均无法复现 dividend strips 数据的动态特征。简约但设计得当的模型，胜过复杂但设计随意的模型。（这也是为什么我喜欢经济学直觉强的研究，而非复杂模型的“无脑”堆砌。）
第二，样本外验证的价值不可低估。GKK 的模型从未见过 dividend strips 数据，却能复现它的主要特征——这是一个真正意义上的样本外检验，而非事后调参的结果。在实证资产定价中，这样的验证难能可贵。
第三，这套方法的应用场景广泛。私募股权估值、气候变化投资的折现率选取、资产定价模型的校准——这些场景都可以使用。该论文的代码和数据已公开在 Kozak 的个人主页上，这类模型的应用属于数据科学与金融工程结合的典范，值得在云栈社区这类技术论坛中深入探讨。
当然，这套方法也有其局限。模型隐含的 dividend strips 价格终究是模型的产物，而非直接观测值。在使用这套数据时，这一点值得牢记。
总体而言，GKK 做了一件很漂亮的事：他们用一个设计精良的模型，把稀缺的数据变得丰富，把短暂的历史变得悠长，把单薄的截面变得厚实。
这不是魔术。这是好的模型应该做的事。
References
- Bansal, R., S. Miller, D. Song, and A. Yaron (2021). The term structure of equity risk premia. Journal of Financial Economics 142(3), 1209–1228.
- Giglio, S., B. Kelly, and S. Kozak (2024). Equity term structures without dividend strips data. Journal of Finance 79(6), 4143–4196.
- Haddad, V., S. Kozak, and S. Santosh (2020). Factor timing. Review of Financial Studies 33(5), 1980–2018.
- Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section. Journal of Financial Economics 135(2), 271–292.
- van Binsbergen, J. H., W. Hueskes, R. S. J. Koijen, and E. Vrugt (2013). Equity yields. Journal of Financial Economics 110(3), 503–519.
发表于 5 小时前
|
查看: 4|
回复: 0
