STM32嵌入式控制中的PID算法原理与参数整定

PID 算法的数学模型

在工业控制中，PID 及其衍生算法是应用最广泛的一类算法，称得上“万能算法”。对研发人员来说，只要能把 PID 的设计与实现真正掌握，多数常规控制问题都能应对。而且 PID 还是最能体现反馈思想的控制算法：经典不一定复杂，很多时候它反而是最简单的。

PID 算法的一般形式

PID 算法通过误差信号控制被控量，控制器由比例、积分、微分三个环节叠加而成。设 t 时刻：

1. 输入量为：

2. 输出量为：

3. 偏差量为：

PID 控制器的连续时间输出一般形式为：

PID 算法的数字离散化

假设采样间隔为 T，在第 k 个 T 时刻：

• 偏差为：

• 积分环节用求和表示：

• 微分环节用斜率表示：

PID 离散化后可写成：

进一步整理为位置式 PID：

其中：

• 比例参数 Kp：控制器输出与输入偏差成比例。系统一旦出现偏差，比例调节立即作用，减少偏差。特点是响应快，但会降低系统稳定性，且有余差。

• 积分参数 Ki：用于消除静差，即系统稳定后输出与设定值的差值。积分环节本质上是偏差累积，把累计误差叠加到系统上以抵消静差。

• 微分参数 Kd：反映偏差信号的变化趋势，根据偏差变化趋势进行超前调节，提高系统快速性。

以上是位置型 PID 的离散形式。另一种常见表达是增量式 PID。由位置式可得上一时刻输出：

于是增量式 PID 为：

增量式的结果只与最近三次偏差有关，有利于提高系统稳定性。最终输出应等于：

再加上增量调节值。

本文要解决的问题

PID 的重要性不必多说。本文通过例子说明算法过程，并重点解释：

1. 什么是 PID？为什么需要 PID？PID 能达到什么作用？
2. 比例环节 P 的作用：基础比例调节，缺点是产生稳态误差；为什么会有稳态误差？
3. 积分环节 I 的作用：消除稳态误差，缺点是增加超调；积分为什么能消除稳态误差？
4. 微分环节 D 的作用：加快惯性响应、减弱超调趋势；为什么能减弱超调？
5. 各比例系数的关系与调节方向。

何为 PID 以及为何需要 PID？

PID 控制的整体框图如下：设定一个输出目标，反馈系统传回输出值；如果与目标不一致，就存在误差，PID 根据误差调整输入，直到输出达到设定值。

为什么不能简单地“温度一到就停止”？比如目标温度 30℃，希望输出快速且没有抖动地到达 30℃。如果一到 30℃ 就停止加热，余温仍然会让温度继续升高；同时系统还会通过空气散热。因此普通开关式控制无法满足快速稳定的要求。

这正是需要 PID 的原因：普通控制手段难以让输出快速、稳定地达到设定值。

控制器的 P、I、D 项选择

常用的控制规律特点如下：

1. 比例控制 P：能较快克服扰动，输出响应快，但不能很好稳定在理想值，有余差。适用于控制通道滞后较小、负荷变化不大、控制要求不高、允许一定余差的场合。
2. 比例积分控制 PI：工程中应用最广。积分在比例基础上消除余差。适用于控制通道滞后较小、负荷变化不大、不允许有余差的场合。
3. 比例微分控制 PD：微分具有超前作用，适合容量滞后的控制通道，能明显改善动态性能。纯滞后较大或测量信号有噪声或周期性振动的场合不宜采用微分。
4. 比例积分微分控制 PID：在比例基础上引入积分消除余差，再加入微分提高稳定性，适用于时间常数或容量滞后较大、控制要求较高的场合，如温度控制、成分控制等。

关于时间滞后：包括容量滞后和纯滞后。容量滞后通常又分测量滞后和传送滞后。测量滞后来自热电偶、热电阻、压力传感器等检测元件建立平衡的过程；传送滞后来自传感器、变送器、执行机构等设备。纯滞后多由物料传输导致，例如大窑玻璃液位，从投料机动作到核子液位仪检测需要较长时间。

控制规律的选用必须根据过程特性和工艺要求确定，不能认为 PID 在任何情况下都是最优。若 PID 仍达不到要求，还需考虑串级控制、前馈控制、大滞后控制等方案。Kp、Ti、Td 三个参数的设定非常关键，可参考 演示PID三个参数的控制作用。编程时通常只能先设定大致数值，再在系统运行时反复调试，所以调试阶段必须能随时修改和记忆这三个参数。

数字 PID 控制器

模拟 PID 控制规律的离散化关系如下：

数字 PID 控制器的差分方程为：

参数的自整定

在通用仪表等应用场合，工作对象不确定，无法为用户预设固定参数，因此需要参数自整定：通过多次测量为新工作对象寻找一套参数，并记忆下来。常用整定方法有临界比例度法、衰减曲线法和经验法。

1. 临界比例度法（Ziegler-Nichols）

步骤：

1. 将纯比例控制器接入闭环系统，设置积分时间常数 Ti = ∞，微分时间常数 Td = 0。
2. 将比例增益 K 设为最小，加入阶跃扰动，一般改变设定值，观察响应曲线。
3. 由小到大增大比例增益 K，直到闭环系统出现振荡。
4. 系统出现持续等幅振荡时，记录临界增益 Ku 和临界周期 Tu。
5. 由表 1 确定 PID 参数。

采用临界比例度法时需要注意：

• 系统应工作在线性区，不要让控制阀出现开、关极端状态，否则可能得到“极限循环”，实际系统早已发散振荡。
• 不同对象特性下，按表求出的参数不一定都能得到满意结果，需要在线校正。
• 适用于临界振幅不大、振荡周期较长的过程；锅炉汽包水位等不允许稳定边界试验的系统不适用。
• 一般只适用于二阶以上高阶对象或一阶加纯滞后对象，否则纯比例控制下不会出现等幅振荡。

若被控对象的静态放大倍数为 Kp=Δy/Δu，增益乘积 KpKu 可视为系统的最大开环增益，通常认为 Ziegler-Nichols 闭环试验整定法的适用范围是：

• 当 KpKu > 20 时，应采用更复杂的控制算法。
• 当 KpKu < 2 时，应使用能补偿传输延迟的控制策略。
• 当 1.5 < KpKu < 2 时，控制精度要求不高的场合仍可使用 PID，但需修正表 1；建议采用 SMITH 预估控制和 IMC 控制策略。
• 当 KpKu < 1.5 时，控制精度要求不高的场合仍可用 PI 控制器，微分作用意义不大。

2. 衰减曲线法

衰减曲线法与临界比例度法不同，闭环设定值扰动试验采用衰减振荡，通常为 4:1 或 10:1。整定步骤：

1. 纯比例控制器下，先将比例增益 K 设为较小值，系统投入运行。
2. 系统稳定后做设定值阶跃扰动，观察响应；若衰减太快则减小 K，反之增大 K，直到出现 4:1 衰减振荡过程，记录此时的比例增益 Ks 和振荡周期 Ts。

3. 利用 Ks 和 Ts，按下表经验公式计算 PID 参数整定值。

10:1 衰减曲线法类似，只是用 Tr 代入计算。

注意：给定干扰不能太大，一般在 5% 左右；必须在工艺参数稳定时才能加干扰；反应快的系统难以得到严格 4:1 衰减曲线，一般以被调参数来回波动两次达到稳定来近似。投运时先将 K 放在较小数值，把 Ti 减小到整定值，再将 Td 逐步放大到整定值，最后把 K 拉到整定值，避免输出剧烈变化。

3. 经验整定法

3.1 方法一 A

1. 确定比例增益：使 PID 为纯比例调节，输入设定为系统允许最大值的 60%~70%；由 0 逐渐加大比例增益到系统振荡，再反过来减小到振荡消失，记录此时增益；设定 P 为当前值的 60%~70%。
2. 确定积分时间常数 Ti：P 确定后，设定较大的 Ti 初值，逐渐减小到系统振荡，再加大到振荡消失；设定 Ti 为当前值的 150%~180%。
3. 确定微分时间常数 Td：一般可设为 0。如需设定，方法与 P、Ti 类似，取不振荡时的 30%。
4. 系统带载联调，再对 PID 参数微调。

3.2 方法一 B

1. PI 调节：
   • 纯比例作用下将比例度由大变小，直到产生周期振荡，再逐渐加宽比例度至系统充分稳定。
   • 然后逐渐缩短积分时间直到产生振荡，再稍加长积分时间直到振荡停止。
2. PID 调节：
   • 纯比例作用下寻找起振点。
   • 加大微分时间使振荡停止，随后把比例度调小使振荡再产生，再加微分时间，如此反复，直到加大微分时间也不能停止振荡；取此前的微分时间最佳值，并把比例度调大一些直到振荡停止。
   • 将积分时间调成与微分时间相同，若又产生振荡，则加大积分时间直到停止。

3.3 方法二

可以先从经验范围内选取 Ti，如需微分则取 Td=(1/3~1/4)Ti，再对比例度 δ 进行试凑。δ 减小可以用增加 Ti 来补偿，基本不影响调节质量。因此先确定 Ti、Td，再确定 δ 也可行，甚至可能更快。

3.4 方法三

实际调试中可以先设定经验值，再根据调节效果修改：

• 流量系统：P(%) 40~100，I(分) 0.1~1
• 压力系统：P(%) 30~70，I(分) 0.4~3
• 液位系统：P(%) 20~80，I(分) 1~5
• 温度系统：P(%) 20~60，I(分) 3~10，D(分) 0.5~3

整定口诀：

阶跃扰动投闭环，参数整定看曲线；先投比例后积分，最后再把微分加；
理想曲线两个波，振幅衰减 4 比 1；比例太强要振荡，积分太强过程长；
动差太大加微分，频率太快微分降；偏离定值回复慢，积分作用再加强。

4. 复杂调节系统的参数整定

以串级调节系统为例，主、副回路相互影响。若主要保证主参数调节质量，整定较容易；若主、副参数都要求高，则较复杂。常用“先副后主”两步法：

1. 主回路闭合，主控制器比例度 100%、积分时间最大、微分时间零；用 4:1 衰减曲线整定副回路，得到副回路比例增益 K2s 和振荡周期 T2s。
2. 将副回路视为主回路的一个环节，用 4:1 衰减曲线法整定主回路，得到主控制器 K1s 和 T1s。
3. 再按经验公式算出主、副回路参数，先放副回路参数，再放主回路参数；不理想则适当调整。

若主、副对象时间常数相差不大，按 4:1 衰减曲线法整定可能出现“共振”。此时可适当减小副回路比例度或积分时间，同时加大主回路比例度或积分时间，错开主、副回路的振荡周期，避免共振。若主、副对象特性太接近，则应考虑方案本身是否合适。

实际应用体会

一是用数字 PID 控制算法调节直流电机速度。利用光电开关获取电机转动脉冲，单片机 MSP430G2553 通过 1s 定时测量脉冲个数来计算转速，测量误差约 0.5 转。将测得转速与给定转速比较得到误差，再通过 PWM 调整占空比，等效调整输出电压。实验系统只能在 30 转/秒到 150 转/秒之间控制：给定值高于 150 时，实际速度只能保持 150 转/秒；给定值低于 30 转/秒时，直流电机转轴实际不转，但误差过大导致转速快速升高，随后又停止，循环往复，无法达到控制效果。实测转速稳态精度约 ±3 转，控制时间约 4~5 秒。

二是用数字 PID 控制算法调节直流减速电机位置。用与电机同轴转动的精密电位器测量转动角度，与给定位置比较产生误差，再按一定关系转换成 PWM 信号控制电机。由于输出量是位置信号，理想情况下应先对直流减速电机建模分析，近似得到系统传递函数，再整定 PID 参数。当时的实验更多依赖想象和现象拟定控制关系，缺少清晰理论指导，实验深度不够。

怎样形象理解 PID 算法？

小明要维护一个持续漏水且漏水速度不固定的水缸，目标是把水面维持在设定位置。

• 他刚开始一直守在缸边，后来每 30 分钟才检查一次，结果水快漏完；改成每 3 分钟一次，又白跑。最后选定每 10 分钟检查一次，这个检查时间就是采样周期。
• 开始时用瓢加水，后来改用桶，几次把水加溢出；最后用盆，刚好合适。加水工具的大小就是比例系数。
• 为了不溢出，他给水缸装了一个漏斗，让水慢慢加入；但速度又变慢了。他通过更换不同口径的漏斗控制加水速度，漏斗的时间就是积分时间。
• 任务要求更及时时，他常备一盆水，一发现水位低就直接倒进去，及时性提高但会超调。后来在水位上方凿孔并接管道流回备用桶，流出的快慢就是微分时间。

比例控制是最简单的控制方式，输出与输入误差成比例。根据设备不同，温度控制的比例带一般为 2%~10%。

不过仅用 P 控制会产生稳态误差 offset，所以通常加入积分控制 I 来消除稳态误差。比例带与 P 控制输出的关系如下：

比例控制中，经过一定时间后误差稳定在一定值时，这个误差就叫稳态误差 off set。仅用比例控制时，负载特性和控制特性曲线的交点和设定值不一致，是产生稳态误差的原因。比例带小时稳态误差会小。为消除稳态误差，可以设置手动复位值 MR。

手动复位公式：

把 MR 设为可变，就可以整定调节器输出。只要手动操作输出相当于 off set 的量，就能与目标值一致。不过实际自动控制中，每次出现 off set 都手工 reset 不现实，后面讲的积分控制会自动消除稳态误差。

积分控制 I 的作用，就是在出现稳态误差时自动改变输出量，使其与手动复位动作的输出量等效，从而消除稳态误差。只要误差存在，积分控制就会根据积分时间持续改变输出，直到误差消除。

积分时间的定义：当积分项和比例项对控制器输出的贡献相同时，即积分作用重复了一次比例作用时所花费的时间，就是积分时间。

微分控制 D 通过误差变化率预报误差信号的未来变化趋势，提供超前控制作用，使被控过程趋于稳定，因此常用来抵消积分控制带来的不稳定趋势。

微分时间的定义：当输入量持续以一定速率变化时，微分项和比例项对控制器输出的贡献相同，即微分作用重复了一次比例作用时所花费的时间，就是微分时间。

实际中如何使用 PID？

冬天洗热水澡要先把管道里的冷水放掉，等水温接近目标后，再一点点调节水龙头冷热比例和出水量；洗浴中感到温度不合适，再微调。这个过程本身就是 PID：水温变化速度与调节速度不匹配，存在滞后效应，所以每次只调一点，等一等再感知。滞后效应是引入 PID 的原因。

负反馈系统普遍存在滞后效应。运放、线性电源等很少提 PID，是因为其滞后延时极短，即便引入负反馈和延时，也很难在芯片有效带宽内形成振荡；而且电源输出通常接大电容，频响接近直流，也不容易振荡。工业控制中的温度等对象滞后严重，往往达到 ms 甚至 10ms 级，直接用负反馈会导致激励与反馈不同步，引起强烈振荡，因此必须引入 PID。

以高频感应加热设备将工件从 25℃ 加热到 700℃ 为例：

1. 25~600℃：100% 全功率加热。由于温差太大，前期全功率快速接近目标。600℃ 是经验值，考虑滞后效应不能等到 700℃ 再停，否则会冲过头。
2. 600℃ 以上：开启 P 控制。P 根据测量值与目标值的误差决定反馈大小：反馈 = P × (当前温度 - 目标温度)。但 P 以误差存在为前提，因此永远到不了目标值。假设稳态只能到 650℃，即使有滞后也不会超过 700℃ 太多。
3. 640℃ 左右：开启 I 控制。P 的稳态极限造成误差，I 通过累加误差获得一个对应 700℃ 的驱动值，并逐步取代 P，逼近目标。为了不积累过大，I 不宜过早介入；可设置误差门限，把大误差按比例缩小处理。
4. 接近目标温度后：开启 D 控制。D 本质上是抑制剧烈变化，适合在目标值附近做最后微调。

总结

PID 并不复杂，但不少人因为不了解三者使用条件，从加热一开始就把 P、I、D 全部投入，结果自然不好。通常 P 适合温度接近目标值时使用；I 在 P 达到稳态极限时投入；D 在目标值附近使用。实际项目中 D 不一定用。

如果硬要找实物类比：开关电源中，TL431 基准/比较器可视为 P，输出滤波电容 C 是 I，输出滤波电感是 D，二者作用完全等价。假设目标温度 700℃，参考工作点可粗略看作：600~800℃ 用 P，640~760℃ 用 I，690~710℃ 用 D，具体必须以实验为准。

最后给一个通俗解释：设计一个东西时，先打样，样和想要的接近但细节不到位，这是 P；样有差异需要修改拟合逼近，这是 I；到定稿后就不允许随意修改，即使修改也有限制，这是 D。